C'è un problema naturale sui naturali che è NP-completo?

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Qualsiasi numero naturale può essere considerato come una sequenza di bit, quindi inserire un numero naturale equivale a inserire una sequenza 0-1, quindi ovviamente esistono problemi NP completi con input naturali. Ma ci sono problemi naturali, cioè quelli che non usano una codifica e un'interpretazione speciale delle cifre? Ad esempio "Is na prime?" è un problema così naturale, ma questo è in P. Oppure "Chi vince il gioco Nim con un mucchio di dimensioni 3, 5, n, n?" è un altro problema che considero naturale, ma sappiamo anche che questo è in P. Sono anche interessato ad altre classi di complessità anziché a NP.

Aggiornamento: Come sottolineato da Emil Jeřábek, dato $a,b,c\in \mathbb N,$ per determinare se $ax^2+by-c=0$ ha una soluzione sui naturali è NP-completo. Questo è esattamente ciò che avevo in mente come naturale, tranne per il fatto che qui l'ingresso è di tre numeri anziché solo uno.

Aggiornamento 2: E dopo oltre quattro anni di attesa, Dan Brumleve ha fornito una soluzione "migliore" - nota che non è ancora completo a causa della riduzione randomizzata.

— domotorp
fonte

1

Conosco un problema di piastrellatura completo NEXP in cui l'input è un numero intero n e il problema è determinare se esiste una piastrellatura valida di una griglia nxn. Se questo è interessante per te, cercherò il giornale.

— Robin Kothari,

2

@Emil: il commento di domotorp è stato una risposta a una confusione che ho avuto. Ma è stato un malinteso da parte mia, quindi ho eliminato il commento. Penso che l'input debba essere un singolo numero naturale, che non dovrebbe codificare nulla.

— Robin Kothari,

8

@domotorp: Il problema NP-completo I dire è, in

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$ , determinare se

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$ ha una soluzione

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$ . Un'altra variante è, data

a, b, c

$a,b,c$ , determinare se esiste

x \leq c

$x\le c$ tale che . (Il risultato è tratto da dx.doi.org/10.1145/800113.803627 .)

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— Emil Jeřábek supporta Monica

3

Perché la risposta a questa domanda non è ovviamente NO ? Ogni problema NP-hard ha istanze che "codificano" un circuito booleano; discutibilmente, ecco cosa significa essere NP-hard!

— Jeffε

2

@domotorp: forse un altro buon candidato "naturale" è il problema di trovare le catene di addizione minima di un singolo numero dato : da Sul numero di catene di addizione minime : "... Il problema di trovare una catena di addizione minima per un set dei numeri è NP-completo. Ciò non implica che a volte si afferma che trovare una catena di addizione minima per sia NP-completa. Tuttavia, possiamo facilmente dedurre che il problema di trovare tutte le catene di addizione minima per un numero è NP-complete ... "

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— Marzio De Biasi,

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Questo problema ha una variazione con un singolo input intero:

Does ha un divisore in stretta tra le sue due più grandi fattori primi? $n$

L'idea è quella di utilizzare la stessa riduzione randomizzata dalla somma dei sottogruppi descritta nella risposta superiore alla domanda collegata, ma con l'intervallo obiettivo codificato come i due numeri primi più grandi invece che forniti separatamente. La definizione ha un aspetto naturale anche se è solo una funzione di accoppiamento sotto mentite spoglie.

Ecco un'altra variante dello stesso problema, con una riduzione simile al problema della partizione:

è il prodotto di due numeri interi che differiscono di meno di ? $n$ $n^{\frac{1}{4}}$

In entrambe le riduzioni stiamo "camuffando" un insieme di numeri interi trovando numeri primi vicini e prendendo il loro prodotto. Se è possibile farlo in tempo polinomiale, questi problemi sono NP-completi.

Penso che sia illuminante guardare questi esempi insieme al teorema di Mahaney : se e possiamo trovare numeri primi vicini, questi insiemi non sono radi. È soddisfacente ottenere un'affermazione puramente aritmetica dalla teoria della complessità (anche se è solo congetturale ed è probabilmente facilmente dimostrabile in altro modo). $P \ne NP$

— Dan Brumleve
fonte

cosa intendi con 'se P ≠ NP e possiamo trovare numeri primi vicini'?

— T ....

1

@ao., vedi la risposta di Peter Shor che descrive la riduzione. Perché sia NP-completo, dobbiamo essere in grado di trovare un primo con nel tempo . Proverò a dare il mio resoconto di tutto questo qui in seguito.

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— Dan Brumleve,

Quali set non sono densi?

— T ....

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Sulla base della discussione, ripubblicherò questo come una risposta.

Come dimostrato da Manders e Adleman , il seguente problema è NP-completo: dati i numeri naturali , determinano se esiste un numero naturale tale che . $a,b,c$ $x\le c$ $x^2\equiv a\pmod b$

Il problema può essere equivalentemente indicato come segue: dato , determinare se il quadratica ha soluzione . $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

(Il documento originale afferma il problema con , ma non è difficile vedere che si può ridurre al caso ) $ax^2+by-c$ $a=1$

— Emil Jeřábek sostiene Monica
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Ecco un problema con un singolo numero naturale come input. $\text{NEXP}$

Il problema riguarda la piastrellatura di una griglia con una serie fissa di tessere e vincoli su tessere adiacenti e tessere sul bordo. Tutto ciò fa parte delle specifiche del problema; non fa parte dell'input. L'ingresso è solo il numero . Il problema è per alcune scelte di regole di piastrellatura come mostrato in $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

D. Gottesman, S. Irani, "La complessità quantistica e classica della piastrellatura invariante e problemi hamiltoniani", proc. 50 ° Symp annuale on Foundations of Computer Science, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Anche arXiv: 0905.2419 .

Il problema è definito a pagina 5 della versione arxiv.

Inoltre, definiscono anche un problema simile che è completo, che è l'analogo quantico di errore limitato di . (L'analogo dell'errore limitato classico di è .) $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— Robin Kothari
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3

+1, ma è un po 'difficile sostenere che il numero sia usato in modo "naturale", poiché sta codificando l'input in una particolare macchina di Turing (in particolare, la piastrellatura esiste se la macchina di Turing accetta , dove è l' -esimo in un elenco di potenziali stringhe di input). Ancora un risultato molto interessante.

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx,

Sono pienamente d'accordo con mjqxxxx.

— domotorp,

2

Penso che usando una delle varianti limitate nel tempo della complessità di Kolmogorov sia possibile creare un problema che utilizza solo la rappresentazione binaria di un numero e (penso) sia improbabile che si trovi in ; informalmente è una versione decidibile del problema "È comprimibile?": $\mathsf{P}$ $n$

Problema: dato , esiste una macchina di Turing tale che e su un nastro vuoto restituiscono in meno di passaggi, dove è la lunghezza della rappresentazione binaria di $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

È chiaramente in , perché dato e , simula semplicemente per i passaggi e se si ferma confronta il risultato con . $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— Marzio De Biasi
fonte

Penso che questo problema sia abbastanza basato sulla TM ma ovviamente è impossibile tracciare una linea.

— domotorp,

Per affinare il commento di domotorp, direi che il fatto che debba invocare la nozione di macchina di Turing nella descrizione del problema lo esclude come un "problema naturale sui numeri naturali". (Se supponiamo che un problema naturale sui numeri naturali sia uno il cui formato generale sarebbe coerente, ad esempio con Fermat che lo ha studiato, senza supporre una storia troppo controfattuale della matematica.)

— Niel de Beaudrap,

2

Il nostro documento FOCS'17 sull'aritmetica del presburger corto è un esempio di un problema "naturale" che è NP-c e utilizza un numero costante di numeri interi nell'input, diciamo . È diverso da Manders-Adleman in quanto i vincoli sono tutte disuguaglianze. Vedi il post sul blog di Gil Kalai per alcuni retroscena. $C$ $C< 220$

— Igor Pak
fonte

Penso che questo sia più naturale di Manders-Adleman. Sono possibili meno di variabili e esempi di disuguaglianza?

5

$5$

10

$10$

— T ....

No, 5 variabili è la più piccola. 10 - non sono sicuro. Ma non puoi davvero avere meno di 6 ...

— Igor Pak

C'è un motivo dietro e ? I media è che dimostrato che tutti e numero finito di disequazioni è in (similmente tutti variabili e disuguaglianze formulazione è in ?)?

\geq 5

$\geq5$

\geq 6

$\geq6$

\leq 4

$\leq4$

P

$P$

\leq 5

$\leq5$

\leq 5

$\leq5$

P

$P$

— T ....

Sì. Per un minor numero di variabili il problema è in P.

— Igor Pak

2

Sì. È tutto nel nostro documento e nella tesi di Danny Nguyen. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

Che ne dici del problema della PARTITION ?

— Kevin A. Wortman
fonte

3

No, poiché l'ingresso non è un numero ma un set.

— domotorp,

1

Quindi stai chiedendo problemi per i quali un'istanza è esattamente un numero naturale? Non credo sia chiaro nella tua domanda, poiché chiedi "problemi con input naturali" e il tuo esempio del gioco Nim prevede quattro numeri.

— Kevin A. Wortman,

Mi dispiace se ero vago nella formulazione della domanda.

— domotorp,