È possibile calcolare se due funzioni sono uguali in estensione?

Se hai due funzioni che implementano un diverso algoritmo di ordinamento, è possibile dedurre dal codice sorgente che entrambe hanno le stesse proprietà esterne? Significa che entrambi avranno una possibile sequenza non ordinata come input e avranno una sequenza ordinata come output? In che modo queste proprietà esterne possono essere determinate dal codice sorgente? E come descriveresti queste proprietà esterne? Quale notazione verrebbe usata?

Le proprietà esterne potrebbero essere rese note definendole esplicitamente, ad esempio all'interno di un sistema di tipi, ma mi chiedo se ciò possa essere fatto in modo implicito. O è in qualche modo teoricamente impossibile dedurre questo tipo di semantica? Mi interessa sapere se ciò è possibile per funzioni arbitrarie, non solo per gli algoritmi di ordinamento, supponendo che cose come le funzioni si fermino sempre e non abbiano effetti collaterali.

Dovrei guardare la semantica denotazionale o non è correlata?

Sono interessato ai suggerimenti per la ricerca in questo settore e ai diversi termini usati per descrivere l'argomento che potrebbe aiutare la mia ricerca letteraria.

Sì. Se riesci a verificare che siano uguali, anche un computer.

Ecco una rapida specifica per un ordinamento intero in Coq:

Inductive natlist : Type :=
| nil : natlist
| cons : nat → natlist → natlist.

Fixpoint is_sorted (l : natlist ) : bool :=
    match l with
    |  nil => true
    |  (cons x nil) => true
    |  (cons x (cons y r)) => if x <= y then is_sorted (cons y r) else false
    end.

...

Theorem sort_spec : forall l, is_sorted (sort_list l).

Una specifica può essere codificata direttamente nella dichiarazione di ordinamento usando tipi dipendenti.

Per questo particolare problema, negli anni '70 John Darlington dimostrò che 6 famiglie di algoritmi di ordinamento possono essere derivate trasformando meccanicamente le specifiche di un ordinamento in un'implementazione; Credo che questo vada sotto il nome di "derivazione di programmi basati sulla semantica".

Nel mondo dell'ingegneria del software, trovare funzioni estensivamente equivalenti è noto come "rilevamento di cloni semantici".

Dave Clarke ha anche dato una buona risposta a questa domanda sul CS StackExchange: /cs/2059/how-do-you-check-if-two-algorithms-return-the-same-result -per-qualsiasi-ingresso

Tutto ciò rientra negli ombrelli dei metodi formali e dei linguaggi di programmazione . La semantica denotazionale è una classe di tecniche per la modellazione della semantica, ma è sfuggita al favore per essere difficile da usare rispetto alla semantica operativa.

L'uguaglianza estensiva nei linguaggi di programmazione completi di Turing è indecidibile in generale, ma ciò non dovrebbe impedirvi di essere in grado di verificare o falsificare che due funzioni specifiche siano estensivamente uguali.

$f = g \Leftrightarrow \forall x^{\alpha}. f(x) = g(x)$$f$$g$$\alpha \rightarrow \beta$

Una risposta rapida (ammetto di non aver passato molto tempo ...) Il teorema di Rice dice che per qualsiasi domanda non banale, è indecidibile dire se la funzione calcolata da un programma avrà la proprietà o meno. Pertanto la domanda qui è indecidibile