Intrattabilità dei problemi NP-completi come principio della fisica?

Sono sempre incuriosito dalla mancanza di prove numeriche dalla matematica sperimentale a favore o contro la domanda P vs NP. Mentre l'ipotesi di Riemann ha alcune prove a sostegno della verifica numerica, non sono a conoscenza di prove simili per la domanda P vs NP.

Inoltre, non sono a conoscenza di conseguenze fisiche dirette del mondo sull'esistenza di problemi indecidibili (o sull'esistenza di funzioni incontestabili). Il ripiegamento delle proteine ​​è un problema NP-completo ma sembra che si stia svolgendo in modo molto efficiente nei sistemi biologici. Scott Aaronson ha proposto di utilizzare NP Hardness Assumption come principio della fisica. Egli afferma l'assunto in modo informale in quanto "i problemi NP-completi sono intrattabili nel mondo fisico ".

Supponendo l'assunzione della durezza NP, perché è difficile progettare un esperimento scientifico che decida se il nostro universo rispetti o meno l'assunzione di durezza NP?

Inoltre, ci sono prove numeriche conosciute dalla matematica sperimentale a favore o contro ?$P\ne NP$

EDIT: Ecco una bella presentazione di Scott Aaronson intitolata Computational Intractability As A Law of Physics

Non penso che il fatto che sia un'affermazione asintotica sia un "dealbreaker" automatico. Si possono fare congetture concrete coerenti con le nostre conoscenze ma più forti di P vs NP come "Ci vogliono almeno 2 n / 10 passi per trovare un compito soddisfacente per una formula 10SAT casuale n variabile" (con "random" come ad esempio, il modello piantato di Achlioptas Coja-Oghlan , questo è solo un esempio - non so quali siano i numeri concreti ragionevoli di mano).$P\neq NP$$2^{n/10}$

Tale congettura può comportare una previsione confutabile secondo cui qualsiasi sistema naturale che tenterà di risolverlo fallirà (ad esempio, rimarrà bloccato in un minimo locale), qualcosa che puoi verificare con gli esperimenti. In effetti, non sono un esperto in questo, ma per quanto ne so, come ha detto Joe Fitzsimons, tali previsioni erano state confermate con il calcolo Adiabatico. (Scott Aaronson ha anche fatto degli esperimenti divertenti con le bolle di sapone.)

Naturalmente puoi anche vedere alcune "prove empiriche" per nel fatto che le persone hanno cercato di risolvere problemi di ottimizzazione, crittografare crittografie, ecc. E finora non hanno avuto successo ...$P \neq NP$

Il mondo reale è un oggetto di dimensioni costanti, quindi non c'è modo di escludere una procedura del mondo reale in tempo polinomiale per risolvere problemi NP completi che hanno un'enorme costante nascosta nella notazione O grande.

Ad ogni modo, oltre a questo punto, l'assunto è un'affermazione della forma "non esiste una procedura del mondo reale che fa ..." Come si fa a progettare un esperimento per confutare tale affermazione? Se l'assunto era qualcosa del tipo "Se facciamo X nel mondo reale, succede Y", allora questo può essere confutato eseguendo X. L'affermazione che vogliamo afferma la non esistenza di qualcosa, quindi non posso vedere un esperimento decidendolo. Potrebbe essere mostrato come una conseguenza fisica delle leggi della fisica, ma questo è ancora più difficile di P vs NP, perché una macchina di Turing segue le leggi della fisica. Poiché non abbiamo avuto successo nemmeno nel dimostrare che le TM non sono in grado di risolvere i problemi NP-completi in tempo polinomiale, sembra completamente senza speranza dimostrare che nessun processo fisico può risolvere i problemi NP-completi in tempo polinomiale.

In effetti la versione fisica di P non è uguale a NP, vale a dire che nessun sistema fisico naturale può risolvere il problema completo di NP è molto interessante. Ci sono alcune preoccupazioni

1) Il progremita sembra praticamente "ortogonale" alla fisica sia sperimentale che teorica. Quindi non fornisce realmente (finora) intuizioni utili in fisica.

Ci sono alcuni buoni argomenti su come si possa dedurre da questa versione fisica della congettura alcune intuizioni in fisica, ma questi argomenti sono abbastanza "morbidi" e hanno scappatoie. (E tali argomenti sono probabilmente problematici, poiché si basano su congetture matematiche molto difficili come NP non non uguale a P e NP non incluse in BQP che non capiamo.)

(Un commento simile si applica alla "tesi di Church-turing".)

2) Sebbene NP fisico non uguale a P sia una congettura più ampia di NP matematico non uguale a P, possiamo anche considerarlo più limitato poiché gli algoritmi che si verificano in natura (e persino gli algoritmi creati dagli uomini) sembrano essere molto classe ristretta di tutti gli algoritmi teoricamente possibili. Sarà molto interessante comprendere formalmente tali restrizioni, ma in ogni caso qualsiasi "prova" sperimentale, come suggerito nella domanda, si applicherà solo a queste classi ristrette.

3) Nella modellistica scientifica, la complessità computazionale rappresenta una sorta di materia del secondo ordine in cui per prima cosa vorremmo modellare un fenomeno naturale e vedere cosa si può prevedere in base al modello (mettendo da parte la teoria della complessità computazionale). Dare troppo peso ai problemi di complessità computazionale nella fase di modellistica non sembra essere fruttuoso. In molti casi, il modello è inizialmente non trattabile dal punto di vista computazionale, ma può ancora essere fattibile per problemi naturali o utile per comprendere i fenomeni.

4) Concordo con Boaz sul fatto che la questione asintotica non è necessaria per "rompere gli affari". Tuttavia, si tratta di una questione piuttosto seria quando si tratta della rilevanza della complessità computazionale rispetto alla modellazione della vita reale.

Se mi permetti di generalizzare un pochino ... Estendiamo la domanda e chiediamo altre ipotesi di durezza teorica della complessità e le loro conseguenze per esperimenti scientifici. (Mi concentrerò sulla fisica.) Di recente c'è stato un programma piuttosto riuscito per cercare di comprendere l'insieme delle correlazioni consentite tra due dispositivi di misurazione che, sebbene spazialmente separati, eseguono una misurazione su un sistema fisico (possibilmente non localmente correlato) ( 1). Sotto questo e simili assetti, si possono usare le ipotesi sulla durezza della complessità della comunicazione per derivare limiti stretti che riproducono le correlazioni ammissibili per la meccanica quantistica.

Per darti un sapore, lascia che ti descriva un risultato precedente al riguardo. Una scatola Popescu-Rohrlich (o scatola PR) è un dispositivo immaginario che riproduce le correlazioni tra i dispositivi di misurazione che sono coerenti con il principio che nessuna informazione può viaggiare più veloce della luce (chiamato principio di non segnalazione ).

S. Popescu e D. Rohrlich, Nonlocalità quantistica come assioma, Trovato. Phys. 24, 379–385 (1994).

Possiamo vederlo come un esempio di complessità comunicativa che ha una certa influenza. L'idea che due osservatori debbano comunicare implicitamente presuppone un vincolo che un fisico non definirebbe alcun segnale. Rigirando questa idea, quali tipi di correlazioni sono possibili tra due dispositivi di misurazione vincolati da nessuna segnalazione? Questo è ciò che studiano Popescu & Rohrlich. Hanno dimostrato che questo insieme di correlazioni consentite è strettamente più ampio di quelle consentite dalla meccanica quantistica, che sono a loro volta strettamente più ampie di quelle consentite dalla fisica classica.

Si pone quindi la domanda: che cosa rende l'insieme di correlazioni quantistiche l'insieme di correlazioni "giusto" e non quelle che non sono ammesse dal segnale?

Per rispondere a questa domanda, ipotizziamo che esistano funzioni per le quali la complessità della comunicazione non è banale. Qui non banale significa solo che per calcolare congiuntamente una funzione booleana f (x, y), ci vuole più di un singolo bit (2). Molto sorprendentemente, anche questo presupposto teorico di complessità molto debole è sufficiente per limitare lo spazio delle correlazioni consentite.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp e F. Unger, Limite di nonlocalità in qualsiasi mondo in cui la complessità della comunicazione non è fondamentale, Phys. Rev. Lett. 96, 250401 (2006).

Si noti che un risultato più debole è già stato dimostrato nel dottorato. tesi di Wim van Dam. Cosa Brassard et al. la prova è che avere accesso alle caselle PR, anche se difettose e solo in alcuni casi produce la corretta correlazione, consente di banalizzare completamente la complessità della comunicazione. In questo mondo, ogni funzione booleana a due variabili può essere calcolata congiuntamente trasmettendo solo un singolo bit. Sembra abbastanza assurdo, quindi diamo un'occhiata al contrario. Possiamo considerare la non banalità della complessità della comunicazione come un assioma, e questo ci consente di ricavare il fatto che non osserviamo certe correlazioni più forti del quanto nei nostri esperimenti.

Questo programma che utilizza la complessità della comunicazione ha avuto sorprendentemente successo, forse molto più di quello corrispondente per la complessità computazionale. I documenti sopra sono davvero solo la punta dell'iceberg. Un buon posto per iniziare ulteriori letture è questa recensione:

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar e R. de Wolf, Nonlocalità e complessità della comunicazione, Rev. Mod. Phys. 82, 665–698 (2010).

o una ricerca bibliografica in avanti dagli altri due articoli che ho citato.

Ciò solleva anche l'interessante domanda sul perché l'impostazione di comunicazione sembra molto più suscettibile all'analisi rispetto all'impostazione di calcolo. Forse quello potrebbe essere l'oggetto di un'altra domanda postata su cstheory.

(1) Prendiamo ad esempio gli esperimenti che misurano qualcosa noto come disuguaglianza CHSH (un tipo di disuguaglianza di Bell ), in cui il sistema fisico è costituito da due fotoni intrecciati e le misurazioni sono misurazioni di polarizzazione sui singoli fotoni in due posizioni spazialmente distanti.

(2) Questo singolo bit è necessario ogni volta che f (x, y) dipende in realtà sia da x che da y, poiché l'invio di zero bit non violerebbe alcun segnale.

$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$

Ora, trovare un circuito minimo per SAT fino a 10 è attualmente molto difficile. Tuttavia, alcune idee nella teoria della complessità geometrica consentono di ottenere risultati simili con una ricerca computazionale più efficiente (penso solo esponenziale anziché doppiamente esponenziale). Una delle congetture di Mulmuley è che in realtà questa ricerca può essere fatta in tempi polinomiali, ma siamo ben lontani dal provare qualcosa di simile.

Le definizioni di "tempo polinomiale" e "tempo esponenziale" descrivono il comportamento limitante del tempo di esecuzione man mano che la dimensione dell'input cresce all'infinito. D'altra parte, qualsiasi esperimento fisico considera necessariamente solo input di dimensioni limitate. Pertanto, non esiste assolutamente alcun modo per determinare sperimentalmente se un determinato algoritmo viene eseguito in tempo polinomiale, tempo esponenziale o qualcos'altro.

O in altre parole: cosa ha detto Robin.

Vorrei iniziare dicendo che sono completamente d'accordo con Robin. Per quanto riguarda il ripiegamento delle proteine, c'è un piccolo problema. Come con tutti questi sistemi, il ripiegamento delle proteine ​​può rimanere bloccato nei minimi locali, cosa che sembra trascurare. Il problema più generale è semplicemente quello di trovare lo stato fondamentale di alcuni hamiltoniani. In realtà, anche se consideriamo solo giri (cioè qubit) questo problema è completo per il QMA.

Gli Hamiltoniani naturali sono un po 'più morbidi rispetto ad alcuni di quelli artificiali usati per dimostrare la completezza del QMA (che tendono a non rispecchiare le interazioni naturali), ma anche quando ci limitiamo alle interazioni naturali a due corpi su sistemi semplici il risultato è ancora un NP -completo problema. In effetti, questo costituisce la base di un approccio tentato di affrontare i problemi NP utilizzando il calcolo quantistico adiabatico. Sfortunatamente sembra che questo approccio non funzionerà per problemi NP-completi, a causa di un problema piuttosto tecnico relativo alla struttura del livello di energia. Ciò porta tuttavia a un'interessante conseguenza dei problemi esistenti all'interno di NP che non sono risolvibili efficacemente per natura (con questo intendo i processi fisici). Significa che esistono sistemi che non possono raffreddarsi in modo efficiente. Vale a dire

Lo studio delle situazioni del mondo reale da una prospettiva computazionale è piuttosto difficile a causa del "salto" continuo e discreto. Mentre tutti gli eventi nel mondo reale (presumibilmente) vengono eseguiti in tempo continuo, i modelli che usiamo di solito vengono implementati in tempo discreto. Pertanto, è molto difficile definire quanto dovrebbe essere piccolo o grande un passo, quale dovrebbe essere la dimensione del problema, ecc.

Ho scritto un riassunto su un documento di Aaronson sull'argomento, tuttavia non è in inglese. Vedi il documento originale .

Personalmente, ho sentito parlare di un altro esempio di un problema del mondo reale modellato sul calcolo. Il documento parla di modelli di sistemi di controllo basati sullo stormo di uccelli. Si scopre che, sebbene impieghi poco tempo nella vita reale per gli uccelli, è intrattabile ("una torre di 2s") se analizzato come un problema computazionale. Vedi l'articolo di Bernard Chazelle per i dettagli.

[Modifica: chiarito la parte relativa al documento di Chazelle. Grazie per aver fornito informazioni precise.]

Continuo a votare per il problema n-body come esempio di intrattabilità NP. I signori che si riferiscono a soluzioni numeriche dimenticano che la soluzione numerica è un modello ricorsivo e non una soluzione in linea di principio allo stesso modo di una soluzione analitica. La soluzione analitica di Qui Dong Wang è intrattabile. Le proteine ​​che possono piegarsi e i pianeti che possono orbitare in sistemi di più di due corpi sono sistemi fisici, non soluzioni algoritmiche del tipo a cui il problema P-NP si rivolge.

Devo anche apprezzare le difficoltà di Chazisop con soluzioni in tempo continuo. Se il tempo o lo spazio sono continui, i potenziali spazi degli stati diventano non numerabili (aleph one).

$n$