Calcolo della chiusura sindacale

Data una famiglia di al massimo sottogruppi di . La chiusura unione è un'altra famiglia insieme contenente ogni insieme che può essere costruito prendendo dall'unione di 1 o più insiemi in . Diindichiamo il numero di set di . $\mathcal F$ $n$ $\{ 1, 2, \dots, n \}$ $\mathcal F$ $\mathcal C$ $\mathcal F$ $|\mathcal C|$ $\mathcal C$

Qual è il modo più veloce per calcolare la chiusura del sindacato?

Ho mostrato un'equivalenza tra la chiusura del sindacato e elencando tutti gli insiemi massimi indipendenti in un grafico bipartito, quindi sappiamo che decidere la dimensione della chiusura del sindacato è # P-completo.

Tuttavia c'è un modo per elencare tutti i set massimi indipendenti (o cricche massime) nel tempo per un grafico con nodi e bordi Tsukiyama et al. 1977. Ma questo non è specializzato per i grafici bipartiti. $O(|\mathcal C| \cdot nm)$ $n$ $m$

Abbiamo fornito un algoritmo per grafici bipartiti con runtime http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf $|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

Il nostro metodo si basa sull'osservazione che qualsiasi elemento in può essere realizzato dall'unione di qualche altro elemento di e uno degli insiemi originali. Quindi ogni volta che aggiungiamo un elemento a proveremo ad espanderlo di uno dei set originali. Per ognuno di questiImposta abbiamo bisogno di controllare se sono ancora in . Memorizziamo come albero di ricerca binario, quindi ogni ricerca prende time. $C$ $C$ $C$ $n$ $n \cdot |C|$ $C$ $C$ $\log |C| \cdot n$

È possibile trovare la chiusura del sindacato nel tempo ? O anche nel tempo ? $\mathcal C$ $O(|\mathcal C| \cdot n^2)$ $O(|\mathcal C| \cdot n)$

— Martin Vatshelle
fonte

Nell'equivalenza che hai mostrato tra la chiusura del sindacato e l'ind. imposta nei grafici bipartiti, l'equivalenza è una biiezione? O in altre parole, nel tuo algoritmo per elencare tutti i miximal ind. insiemi di un grafico bipartito, èil numero di ind massimi. imposta?

| C |

$|C|$

— Vinayak Pathak,

Sì, è una biiezione quindiè il numero di insiemi indipendenti massimi. (notare che il set vuoto deve essere definito per essere in ).

| C |

$|C|$

C

$C$

— Martin Vatshelle,

Anche se è improbabile che ciò possa aiutarti con la tua domanda, quello che stai chiedendo è un caso speciale di calcolo della chiusura verso l'alto di elementi in un reticolo, e mi chiedo se da lì ci siano risultati che potrebbero essere utili.

— Suresh Venkat,

L'indagine che indico nella mia risposta di seguito fornisce alcuni collegamenti con reticoli.

— M. kanté,

La complessità dell'enumerazione dei set massimi indipendenti nei grafici è la stessa dei grafici bipartiti, quindi il bipartitismo non porta nulla di nuovo.

Hai un algoritmo (con spazio esponenziale) in , ma nessun algoritmo di spazio polinomiale che raggiunge questa complessità temporale è noto. Il seguente documento http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X08004563 è un buon sondaggio. $O(|C|\cdot n^2)$

— M. kanté
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