Quanto possiamo avvicinarci alla moltiplicazione, aggiunta e confronto lineari (su numeri interi)?

Accennando all'articolo di KW Regan "Connect the Stars" , alla fine menziona che è ancora un problema aperto trovare una rappresentazione di numeri interi in modo tale che le operazioni di addizione, moltiplicazione e confronto siano calcolabili in tempo lineare:

Esiste una rappresentazione di numeri interi in modo tale che addizione, moltiplicazione e confronto siano fattibili in un tempo lineare? Fondamentalmente, c'è un tempo lineare squillo discretamente ordinato?

(1) Quanto possiamo avvicinarci alla moltiplicazione e all'aggiunta del tempo lineare, senza confronti? Qui presumo che le dimensioni del problema possano variare, quindi potremmo aver bisogno di una struttura / algoritmo di dati che consenta di modificare le dimensioni di numeri interi.

(2) Per il problema completo, possiamo supporre che troveremo uno schema ottimale per moltiplicare, aggiungere e confrontare gli interi. Quanto possiamo avvicinarci al più lento di queste tre operazioni (nel peggiore dei casi) al tempo lineare? E su quella nota, quanto sarebbero veloci le altre operazioni?

DICHIARAZIONE FORMALE DEL PROBLEMA

Come menziona Emil Jeřábek, vorremmo escludere casi banali e concentrarci sul comportamento peggiore per questa domanda.

Quindi chiediamo, per non negativo interi e dove e , possiamo trovare una struttura dati / algoritmo in grado di eseguire addizioni, moltiplicazioni, e si confronta con \ tra e nello spazio e nello spazio ? $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— Matt Groff
fonte

Parlerò che è possibile creare uno schema che esegue queste operazioni nel tempo

su numeri interi non negativi, dove

è la dimensione in bit dell'intero più grande (supponendo che conosciamo

anticipo). Mi chiedo se possiamo fare di meglio e farlo in tempo proporzionale all'intero o agli interi correnti da calcolare.

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— Matt Groff,

@TysonWilliams: Sì! Binario!

— Jeffε

Invece di ottenere un tempo lineare per tutte queste operazioni, esiste una rappresentazione di numeri interi in modo che tutte queste operazioni abbiano il tempo

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

In realtà, c'è una banale risposta positiva: rappresentano numeri interi in binario con

bit di riempimento. L'istruzione non dovrebbe includere una condizione per l'effetto che la rappresentazione dovrebbe avere una lunghezza lineare nella lunghezza della rappresentazione binaria?

n^{2}

$n^2$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

@ EmilJeřábek: suppongo che desideri che la rappresentazione di qualsiasi numero intero

utilizzi i bit

, per alcune funzioni

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

— Jeffε

$n$

p_{n} # = \exp ((1 + o (1)) n \log n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— Joe Fitzsimons
fonte

vedi anche teorema del resto cinese

— vzn,

@vzn: Sì, stavo per menzionarlo per i confronti, ma poi mi è venuto in mente che potrebbe esserci un'operazione di confronto più veloce tramite una rappresentazione radix mista.

— Joe Fitzsimons,