Riduzione da CLIQUE naturale a k-Color

C'è chiaramente una riduzione da CLIQUE a k-Color perché sono entrambi NP-Complete. In effetti, posso costruirne uno componendo una riduzione da CLIQUE a 3-SAT con una riduzione da 3-SAT a k-Color. Quello che mi chiedo è se esiste una ragionevole riduzione diretta tra questi problemi. Diciamo, una riduzione che potrei spiegare abbastanza brevemente ad un amico senza dover descrivere un linguaggio intermedio come SAT.

Come esempio di ciò che sto cercando, ecco una riduzione diretta nella direzione opposta: dato G con e qualche (il numero di colori), crea un grafico G 'con vertici (uno per colore per vertice). I vertici , corrispondenti ai vertici e ai colori sono rispettivamente adiacenti se e solo se e ( o ). Un -clique in ha solo un vertice per vertice in , e i colori corrispondenti sono un -colore corretto dik k n v ′ u ′ v , u c , d v ≠ u c ≠ d v u ∉ G n G ′ G k $n$$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$. Allo stesso modo, qualsiasi colore corretto di ha una cricca corrispondente in .G G $k$$G$$G'$

Modifica : per aggiungere una breve motivazione, i 21 problemi originali di Karp sono dimostrati NP-Complete da un albero di riduzioni in cui CLIQUE e Chromatic Number formano le radici dei principali sottoalberi. Ci sono alcune riduzioni naturali tra i problemi nel sottotree CLIQUE e nel sottotitolo Numero cromatico, ma molti di loro sono difficili da trovare quanto quello di cui sto chiedendo. Sto cercando di approfondire se la struttura di questo albero mostra una struttura sottostante negli altri problemi o se è interamente una conseguenza di quali riduzioni sono state trovate per prime, poiché c'è meno motivazione a cercare riduzioni tra due problemi quando sono noti per essere nella stessa classe di complessità. Certamente l'ordine ha avuto una certa influenza e alcune parti dell'albero possono essere riorganizzate, ma può essere riorganizzata arbitrariamente?

Modifica 2 : continuo a cercare una riduzione diretta, ma ecco uno schizzo del più vicino che ho ottenuto (dovrebbe essere una riduzione valida, ma ha CIRCUIT SAT come intermediario chiaro; è in qualche modo soggettivo se questo è meglio di comporre due riduzioni come indicato nel primo paragrafo).

Dato , sappiamo che può essere colorato con vertici tutti colorati True se ha un -clique. Chiamiamo i vertici originali di e quindi aggiungiamo a vertici aggiuntivi: con , . La chiave invariante sarà che può essere colorato True se e solo se tra vertici ci sono almeno vertici colorati True. Pertanto, ogni può essere True. Poi,¯ G n - k + 1 k G k G v 1 , … , v n ¯ G C i j 1 ≤ i ≤ n 0 ≤ j ≤ k C i j { v 1 , … , v i } j C i 0 C i $G, k$$\overline{G}$$n-k+1$$k$$G$$k$$G$ $v_1, \ldots, v_n$$\overline G$$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$ per ottiene il colore dove tutti i colori non veri sono trattati come falsi. Esiste un -clique in iff può essere colorato True, quindi se forziamo tale colorazione, il nuovo grafico è colorabile se nel grafico originale fosse presente un -clique.C ( i - 1 ) j ∨ C ( i - 1 ) ( j - 1 ) ∧ v i k G C n k$j > 0$$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$$k$$G$$C_{nk}$$k$

I gadget AND e OR per applicare le relazioni sono molto simili alla riduzione da CIRCUIT SAT a 3-COLOR, ma qui includiamo un nel nostro grafico, selezioniamo i vertici T, F e Ground, quindi connettiamo tutti altri al tutto, ma la v i s; questo assicura che C i j e gli altri gadget ricevano solo 3 colori.$K_{n-k+1}$$v_i$$C_{ij}$

Comunque, la parte di questa riduzione sembra diretta, ma l'uso delle porte AND / OR è molto meno diretto. La domanda rimane: esiste una riduzione più elegante?$\overline G$

Modifica 3 : ci sono stati alcuni commenti sul perché questa riduzione sarebbe difficile da trovare. CLIQUE e k-Color sono davvero problemi piuttosto diversi. Anche senza una riduzione, tuttavia, una risposta che spieghi in dettaglio perché la riduzione è dura in una direzione ma possibile nell'altra sarebbe molto utile e contribuirebbe molto al problema.

Dato un grafo e un numero k , in modo tale che si desidera sapere se G contiene un k -clique, sia n il numero di vertici in G . Costruiamo un altro grafico H , in modo tale che H sia n -colorabile se e solo se G ha un k -clique, come segue:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) Per ogni vertice in G , crea un n -clique di vertici ( v , i ) in H , dove i va da 1 a n .$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) Aggiungere un ulteriore vertice di H .$x$$H$

(3) Per ogni tripla di vertici in H , dove y = ( v , i ) e z = ( u , j ) , verifica se una delle seguenti condizioni è valida: u ≠ v e i = j , oppure u e v sono vertici non adiacenti in G con max ( i , j ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. Se una di queste due cose è vera, aggiungere un altro -clique a H . All'interno di questa cricca, seleziona tre vertici x ′ , y ′ e z ′ . Collega x ad ogni vertice della cricca tranne y ′ e z ′ ; connetti y ad ogni vertice nella cricca tranne x ′ e z ′ ; e connetti z ad ogni vertice della cricca ad eccezione di x ′ e y ′ .$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

I gadget aggiunti nella fase (3) impediscono il triplo vertici , y , e z da tutti sia dato lo stesso colore a vicenda in una colorazione valida H . La cricca in G può essere recuperata da una colorazione di H come l'insieme dei vertici ( v , i ) che sono nella stessa classe di colore di x e che hanno i ≤ k .$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? la colorazione e la scoperta di cricche sono note per essere strettamente associate da decenni tramite la teoria dei grafi (forse anche negli anni '60?) anche non tramite SAT come intermediario (che divenne tipico dopo la prova di Cook nel 1971). credere che ci siano algoritmi basati sulla seguente proprietà di base :

Se G contiene una cricca di dimensione k, sono necessari almeno k colori per colorare quella cricca; in altre parole, il numero cromatico è almeno il numero della cricca: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

non sono sicuro dei riferimenti esatti ma [1,2] sono buoni punti di partenza, almeno un algoritmo o riferimento esatto è citato in questi libri.

[1] Cliques, colorazione e soddisfacibilità, seconda sfida DIMACS

[2] Dimacs vol 26: Cliques, coloranti e soddisfacibilità