La motivazione per l'utilizzo di Karp-riduzioni nella teoria della

La nozione di riduzioni dei tempi polinomiali (riduzioni di Cook) è un'astrazione di un concetto molto intuitivo: risolvere efficacemente un problema usando un algoritmo per un altro problema.

Tuttavia, nella teoria della completezza di , la nozione di durezza viene catturata tramite riduzioni di mappatura (riduzioni di Karp). Questo concetto di riduzioni "limitate" è molto meno intuitivo (almeno per me). Sembra anche un po 'inventato, in quanto crea una nozione un po' meno intuitiva di durezza; da ciò mi riferisco al fatto che non contiene banalmente . Sebbene nella teoria della complessità siamo molto abituati al concetto che essere in grado di risolvere un problema come non implica che possiamo risolvere$\mathcal{NP}$N P c o - N P S A T ¯ S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$, in contesti naturali (che vengono catturati dalle riduzioni di Cook), supponendo che abbiamo un algoritmo per risolvere , possiamo risolvere ¯ S A T semplicemente eseguendo l'algoritmo per S A T e restituendo il contrario.$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

La mia domanda è: perché dovremmo usare le riduzioni di Karp per la teoria della completezza di ? Quale idea intuitiva cattura? In che modo si collega al modo in cui comprendiamo la "durezza del calcolo" nel mondo reale?$\mathcal{NP}$

Come le riduzioni di Turing, molte riduzioni sono arrivate nella teoria della complessità dalla letteratura sulla teoria della calcolabilità / ricorsione. Le riduzioni di Cook e Karp sono versioni teoriche di complessità naturale di simili riduzioni esistenti nella calcolabilità.

Esiste un modo intuitivo per spiegare le riduzioni multiple: è una limitazione delle riduzioni di Turing in cui possiamo fare solo una sola domanda dall'oracolo e la risposta dell'oracolo sarà la nostra risposta.

Ora la domanda è: perché dovremmo studiare questo (e qualsiasi altro tipo di riduzione come la tabella della verità, la tabella della verità debole, ecc.)?

Queste riduzioni offrono un quadro più preciso delle riduzioni di Turing. Le riduzioni di Turing sono troppo potenti per distinguere tra molti concetti. Una parte molto ampia della teoria della calcolabilità è dedicata allo studio dei gradi ce / re. La nozione di un set ce è centrale. Possiamo avere una macchina TM in grado di enumerare un set infinito, potremmo non essere in grado di enumerare il suo complemento. Se vuoi studiare set di ce allora la riduzione di Turing è troppo forte poiché i set di ce non sono chiusi sotto di essa. Quindi molte riduzioni sono un (e forse il) modo naturale di definire le riduzioni per questo scopo.

Altri tipi di riduzioni sono definiti per ragioni simili. Se siete interessati, suggerirei di controllare la "Teoria della ricorsione classica" di Piergiorgio Odifreddi. Ha un capitolo abbastanza completo su diverse riduzioni e le loro relazioni.

Ora per la teoria della complessità l'argomento è simile. Se si accetta che è una classe di problemi estremamente naturale e si desidera studiare N P , le riduzioni di Cook sono troppo forti. La scelta naturale è una riduzione più debole tale che N P è chiusa sotto di essa e possiamo dimostrare l'esistenza di un problema wrt completo a coloro riduzione per N P . Le riduzioni del karp sono la scelta naturale per questo scopo.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ci sono diverse domande su questo sito relative alle riduzioni di Cook vs Karp. non ho visto una descrizione molto chiara di questo per il neofita perché è in qualche modo intrinsecamente sottile in molti modi ed è un'area di ricerca attiva / aperta. ecco alcuni riferimenti che possono essere utili per risolverlo. come riassume wikipedia, "Molte riduzioni sono preziose perché la maggior parte delle classi di complessità ben studiate sono chiuse sotto un tipo di riducibilità multipla, tra cui P, NP, L, NL, co-NP, PSPACE, EXP e molte altre. Tuttavia, queste classi non sono chiuse con arbitrarie riduzioni multiple. "

sembra giusto dire che anche i teorici avanzati stanno attivamente meditando sull'esatta distinzione e differenze come nei riferimenti di seguito e la storia completa non sarà disponibile a meno che non vengano risolte importanti separazioni di classi di complessità aperta aperte, cioè queste domande sembrano tagliare al centro del noto vs sconosciuto.

[1] Cook vs. Karp-Levin: Separare le nozioni di completezza se NP non è piccola (1992) Lutz, Mayordomo

[2] Cook e Karp sono sempre gli stessi? Beigel e Fortnow

[3] Altri problemi NP-Complete (PPT) vedi le diapositive 9-14 sulla storia e le distinzioni di riduzione di Cook vs Karp