Durezza della CLIQUE parametrizzata?

Lascia e considera il problema decisionale $0\le p\le 1$

CLIQUE Ingresso: intero , grafo con vertici e bordi Domanda: non contiene una cricca su almeno vertici? $_p$
$s$ $G$ $t$ $\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$ $s$

Un'istanza di CLIQUE $_p$ contiene una proporzione $p$ su tutti i bordi possibili. Chiaramente CLIQUE $_p$ è facile per alcuni valori di $p$ . CLIQUE $_0$ contiene solo grafici completamente disconnessi e CLIQUE $_1$ contiene grafici completi. In entrambi i casi, CLIQUE $_p$ può essere deciso in tempo lineare. D'altra parte, per valori di $p$ vicini a $1/2$ , CLIQUE $_p$ è NP-difficile per una riduzione rispetto a CLIQUE stesso: in sostanza, è sufficiente prendere l'unione disgiunta con il grafico Turán $T(t,s-1)$ .

La mia domanda:

CLIQUE $_p$ in PTIME o NP-completo per ogni valore di $p$ ? Oppure ci sono valori di $p$ per i quali CLIQUE $_p$ ha una complessità intermedia (se P ≠ NP)?

Questa domanda è nata da una domanda correlata agli ipergrafi, ma sembra interessante a sé stante.

cc.complexity-theory np parameterized-complexity clique

— András Salamon
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domanda interessante!

— Suresh Venkat,

Il numero reale di pa è compreso tra 0 e 1 o p può essere una funzione di t?

— Robin Kothari,

@Robin: non ho specificato, entrambi sarebbero interessanti.

— András Salamon,

Se la proporzione dei bordi è un limite superiore (e non un requisito di conteggio esatto o un limite inferiore), per qualsiasi costante

0 < p < 1

$0<p<1$ questo problema è NP-difficile mediante riduzione da CLIQUE: aggiungere un insieme sufficientemente grande di vertici isolati . Il requisito che i bordi dei numeri siano uguali all'espressione data? O quale cosa palesemente ovvia mi manca? :-)

— gphilip,

@gphilip: come fai notare, la riduzione è immediata se la proporzione è solo un limite superiore; questo è il motivo per cui la domanda è formulata in termini di proporzione esatta.

— András Salamon,

Risposte:

Suppongo che il numero nella definizione del problema CLIQUE _p sia esattamente uguale al numero di spigoli nel grafico, a differenza del commento di gphilip alla domanda. $\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

Il problema CLIQUE _p è NP-completo per qualsiasi costante razionale 0 < p <1 di una riduzione rispetto al solito problema CLIQUE. (Il presupposto che p sia razionale è richiesto solo in modo che possa essere calcolato dal polinomio N in time in N. ) $\lceil pN \rceil$

Sia k ≥3 un numero intero che soddisfi sia k ² ≥1 / p che (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Dato un grafico G con n vertici e bordi m insieme a un valore di soglia s , la riduzione funziona come segue.

Se s < k , risolviamo il problema CLIQUE nel tempo O ( n ^s ) tempo. Se c'è una cricca di dimensioni almeno s , produciamo un sì istanza fissa. Altrimenti, produciamo una non istanza fissa.
Se n < s , produciamo una no-istanza fissa.
Se n ≥ s ≥ k , aggiungiamo a G un grafico a parti ( k −1) in cui ogni set è costituito da n vertici che ha esattamente edge e produce questo grafico. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Si noti che il caso 1 richiede O ( n ^{k −1} ) tempo, che è polinomiale in n per ogni p . Il caso 3 è possibile perché se n ≥ s ≥ k , allora non è negativo e al massimo il numero di bordi nel completo ( k −1) grafico a parti K _n_,…,_n come mostrato nelle seguenti due rivendicazioni. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Rivendicazione 1 . . $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Prova . Poiché , è sufficiente dimostrare che o equivalentemente pnk ( nk −1) ≥ n ( n -1). Poiché p ≥ 1 / k ² , abbiamo pnk ( nk −1) ≥ n ( n −1 / k ) ≥ n ( n −1). QED . $m \le \binom{n}{2}$ $p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

Rivendicazione 2 . . (Notare che il lato destro è il numero di spigoli nel grafico a parti complete (k − 1) K _n_,…,_n .) $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Prova . Poiché e m ≥ 0, è sufficiente dimostrare che , o equivalentemente n ² ( k −1) ( k −2) - pnk ( nk −1) - 2 ≥ 0. Dato che p <(1−1 / k ) (1−2 / k ), abbiamo QED . $\lceil x \rceil \lt x+1$ $p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

n^{2} (K - 1) (K - 2) - p n K (n K - 1) - 2

$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$

\geq n^{2} (K - 1) (K - 2) - n (n - \frac{1}{K}) (K - 1) (K - 2) - 2

$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$

= \frac{n}{K} (K - 1) (K - 2) - 2 \geq (K - 1) (K - 2) - 2 \geq 0.

$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$

Modifica : la riduzione nella Revisione 1 ha avuto un errore; a volte richiedeva un grafico con un numero negativo di spigoli (quando p era piccolo). Questo errore è stato corretto ora.

— Tsuyoshi Ito
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questo è il più vicino al fraseggio specifico, quindi grazie per averlo affrontato. Il caso 3 è il più vicino a quello che avevo in mente. Tuttavia, non seguo il calcolo - potresti espandere un po '?

— András Salamon,

@ András Salamon: Fatto.

— Tsuyoshi Ito,

$p$ $t$ $p$ $\log^4 t$ $s$ $\log^2 t$ $t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$

— Boaz Barak
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