Distribuzioni di probabilità di profondità limitate

Due domande correlate sull'elaborazione a profondità limitata:

1) Supponi di iniziare con n bit e di iniziare con il bit i può essere 0 o 1 con qualche probabilità p (i), indipendentemente. (Se semplifica il problema, possiamo supporre che tutte le p (i) siano 0,1 o 1/2.~~o anche che tutti loro sono 1/2.~~)

Ora fai un numero limitato di round di calcolo. In ogni round si applicano cancelli classici reversibili su insiemi di bit disgiunti. (Correggi il tuo set preferito di cancelli reversibili classici universali.)

Alla fine ottieni una distribuzione di probabilità su stringhe su n bit. Ci sono risultati sulla restrizione di tali distribuzioni?

Sto cercando qualcosa di analogo al lemme di commutazione di Hastad, il risultato di Boppana che l'influenza totale è piccola o il teorema di LMN.

2) La stessa domanda di 1) ma con circuiti quantici a profondità limitata.

— Gil Kalai
fonte

I può essere manca qualcosa, ma non è la questione 1 con tutte le

p (i)

$p(i)$ pari a

1 / 2

$1/2$ banale? Inizi con una distribuzione uniforme su

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$ , che è invariante sotto le biiezioni.

— Klaus Draeger,

Quanto segue è una trasformazione utile del tuo problema? Trasforma il tuo input (un vettore

), in un vettore di lunghezza

rappresenta una distribuzione di probabilità su stringhe binarie di lunghezza

. Ora qualsiasi calcolo è una matrice stocastica quadrata che agisce (diciamo) a sinistra per produrre una distribuzione di probabilità su stringhe di output di lunghezza

. WLOG possiamo supporre che tutte le voci siano binarie. L'unica domanda è qual è la classe di matrici binarie stocastiche che possono essere prodotte attraverso un numero limitato di moltiplicazioni di matrici delle nostre matrici di base (gate reversibili).

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul

Scusa, dovrei essere più preciso. Per matrice di base qui intendo non un cancello reversibile, ma piuttosto un insieme di cancelli reversibili che agiscono in parallelo, e non mi sembra immediatamente ovvio come sarebbero tali matrici dato un insieme di cancelli.

— usul

Entrambe le risposte meritano la generosità, vedrò cosa posso fare

— Gil Kalai l'

cosa intendi con "insiemi disgiunti" di bit?

— vzn,

Risposte:

Ci sono alcuni articoli relativamente recenti di Emanuele Viola et al., Che trattano della complessità delle distribuzioni campionarie. Si concentrano su un modello limitato di calcoli, come alberi di decisione di profondità limitata o circuiti di profondità limitata.

Sfortunatamente non discutono cancelli reversibili. Al contrario, spesso si verifica una perdita nella lunghezza dell'uscita. Tuttavia, questi documenti possono essere un buon punto di partenza.

I circuiti di profondità limitata non possono campionare buoni codici

La complessità delle distribuzioni

— MassimoLauria
fonte

Mille grazie, Massimo! questo sembra molto rilevante.

— Gil Kalai,

(Anche io sono interessato al caso non reversibile.)

— Gil Kalai

Risposta breve.

Per i circuiti quantistici, esiste almeno un risultato di non- limitazione: è improbabile che i circuiti quantistici a profondità limitata arbitraria siano simulabili con un piccolo errore moltiplicativo nella probabilità del risultato, anche per i circuiti classici a profondità polinomiale .

Questo, ovviamente, non ti dice quali saranno i circuiti di restrizione ; in particolare se sei interessato a problemi di decisione con errori limitati, piuttosto che a distribuzioni di probabilità. Tuttavia, ciò significa che un'analisi in termini di alberi decisionali, come con Switching Lemma di Håstad , non è probabile che sia in preparazione per la simulazione classica di questi circuiti. $\mathsf{QNC^0}$

Dettagli

Potremmo considerare la definizione di circuiti quantistici di profondità poliglogica come fornita da Fenner et al. (2005) :

Definizione. è la classe di famiglie di circuiti quantici per cui esiste un polinomio per il quale ogni contiene qubit di input e al massimo ancillas fresche, utilizza solo gate a un qubit e porte non controllate e ha profondità . $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

Le porte a qubit singolo devono provenire da un set finito fisso, sebbene ciò sia sufficiente per simulare qualsiasi unità fissa fissa su un numero costante di qubit con una precisione fissa. Consentiamo inoltre di utilizzare qualsiasi sottoinsieme dei qubit alla fine del circuito per rappresentare l'uscita della famiglia di circuiti (ad es. Un singolo qubit per funzioni booleane).

Bremner, Jozsa e Sheppard (2010) notano (vedere la Sezione 4) che, usando un adattamento della tecnica di teletrasporto del cancello dovuta a Terhal e DiVincenzo (2004) , post-selezione su alcuni qubit in un circuito permette di decidere problemi . Utilizzando i loro risultati sulla simulazione di circuiti post-selezionati, ciò implica che il problema del campionamento classico dalla distribuzione di uscita di un circuito arbitrario con uscita booleana, con errore moltiplicativo al massimo $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ nella probabilità di campionamento, è impossibile con circuiti di profondità polinomiali casuali a meno che la gerarchia polinomiale non collassi parzialmente (in particolare). $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$

— Niel de Beaudrap
fonte

Caro Niel, molto interessante! Grazie! Sono particolarmente interessato alle distribuzioni. Puoi spiegare perché "Questo, ovviamente, non ti dice ..."?

— Gil Kalai,

Il risultato di inapprossimabilità con fattore costante vale tramite PostQNC⁰ = PostBQP = PP . La Postselection viene qui utilizzata per "forzare il successo" di una lunga serie di teletrasporti, per simulare una distribuzione a poli-profondità quantistica tramite una distribuzione a profondità costante-quantica condizionata su un evento di probabilità estremamente bassa ma diversa da zero. Qualsiasi fattore di approssimazione costante sarebbe valido anche per un circuito a poli-profondità. Ma questo non ti dice, ad esempio un limite superiore di quanta ampiezza, in termini assoluti (e asintotici), è concentrato (o potrebbe essere proiettato su) un particolare sottospazio.

— Niel de Beaudrap il