Lo stato dell'arte per il sistema di girasole

Sono interessante nel sistema dei girasoli e nelle sue applicazioni nell'informatica.

Dato un Universo e una raccolta di insiemi è chiamato un sistema di girasole k se per tutti . E è chiamato come nucleo e è chiamato petali. $U$ $k$ $A_i$ $A_i \cap A_j = Y$ $i \neq j$ $Y$ $A_i - Y$

Una famiglia di insiemi è chiamata -uniform è che tutti gli insiemi che contiene possiedono elementi . $F$ $s$ $s$

Erdos e Rado dimostrato che per un famiglia uniforme di insiemi , deve contenere un -sunflower petali di sistema se . $s$ $F$ $F$ $k$ $|F| > s!(k-1)^s$

Questo risultato è chiamato lemma del girasole e ha molte importanti applicazioni.

Erdos ipotizzato che per ogni esiste una costante tale che il limite superiore dovrebbe essere ogni famiglia Uniform . (La congettura del girasole) $k$ $c_k$ $c_k^s$ $s$ $F$

Sfortunatamente, questa congettura è ancora aperta per . $k=3$

Ecco cosa voglio sapere.

Se limitiamo il numero di elementi nell'universo Supponi = . Quindi il problema risulta essere: $U$ $|U|$ $u$

Dato un universo con elementi , e famiglia uniforme di insiemi contenenti gli elementi in , si suppone che possiamo trovare una sequenza di costanti , , , ... in modo tale che ogni famiglia uniforme contenga un Sistema a semi di girasole se e . $u$ $s$ $F$ $U$ $c_1$ $c_2$ $c_3$ $s$ $F$ $3$ $|F|>$ $c_i^s$ $|U|=i$

Inoltre, se potessimo dimostrare che la sequenza converge in una costante , allora sembra che possiamo provare la congettura del girasole. $c_i$ $c$

Ma non riesco a trovare un simile risultato: potrebbe essere che questo approccio sia troppo stupido o troppo duro.

Qualcuno potrebbe fornire lo stato dell'arte del lemma di girasole e la congettura (anche la versione finita è OK).

Ecco alcuni che posso fornire. C'è un capitolo nel libro di Junka The Extremal Combinatorics.

Il documento sopra è una delle sue applicazioni (versione finita)

Su girasoli e moltiplicazione di matrici N Alon et.al

co.combinatorics set-theory

— Yao Wang
fonte

non sembra esserci molto lavoro diretto su di esso oltre alle nuove applicazioni e al recente documento che citi, il che potrebbe aumentare l'interesse ed è probabilmente il posto migliore per iniziare per i ref (anche il libro di jukna è imbattibile). ecco un bel riassunto delle interconnessioni di Kalai sul suo blog

— vzn

penso di avere una

che dipende da

rende banale il problema, dato che puoi impostare

. anche la mia impressione è che non avendo dipendenza da

è la cosa interessante del lemma

c_{i}

$c_i$

i = | U |

$i = |U|$

c_{i} = 2^{i}

$c_i = 2^i$

| U |

$|U|$

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov. Grazie per la risposta Sì, ciò che vogliamo è non avere alcuna dipendenza da

. ma se abbiamo

, Allora possiamo costruire in modo esplicito la famiglia massima

. Quello che mi chiedo è che se questo edificio esplicito potesse mostrare qualcosa di interessante per il problema. Ad esempio, possiamo trovare una famiglia con

che non contiene ancora un sistema di girasoli. Ho provato a costruire una famiglia così grande, ma sembra così difficile. Non posso creare una famiglia massima più ampia se non l'esempio sul libro di Junka (Cha7).

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

F

$F$

2^{i - ϵ}

$2^{i-\epsilon}$

— Yao Wang,

brevemente, sto chiedendo se possiamo migliorare il limite inferiore.

— Yao Wang,

la congettura di girasole di Erdos sembra essere molto difficile dopo ormai oltre mezzo secolo (!) di apertura. hai già elencato alcuni dei migliori e più recenti riferimenti sul soggetto che sarebbe molto difficile da battere (recente articolo di Alons, libro di Juknas sulla combinatoria). il documento Alon è molto noto per il recente collegamento della congettura a limiti inferiori sulla moltiplicazione della matrice, un'area che ha visto recenti progressi rivoluzionari nei risultati di Williams. [4]

puoi trovare qualche ulteriore trattamento, principalmente applicazioni alla teoria dei circuiti estremali (limiti inferiori del circuito scoperti da Razborov ed estesi da altri), nel libro eccezionale di Jukna [1].

un riferimento recente notevole / correlato apparentemente lungo questa linea apparentemente non così ampiamente conosciuto o citato finora è [2] di Rossman con una nuova direzione di applicazione (grafici casuali Erdos-Renyi su circuiti monotoni) e che dimostra risultati estesi e / o più forti sui girasoli "quasi". l'articolo è il risultato della sua tesi di dottorato [3]. dall'estratto di carta

Introduciamo una nuova variante di girasoli e dimostriamo un analogo del lemma di girasole che potrebbe essere di interesse indipendente.

[1] Complessità, avanzamenti e frontiere della funzione booleana

[2] La complessità monotona di k-Clique su Random Graphs (2009) Rossman

[3] Complessità nel caso medio della rilevazione di cricche da parte di Rossman

[4] Commenti sulla svolta di Williams sul blog di prodotti a matrice più bassa RJ Liptons Godels Lost Letter

[5] Materiali dettagliati sui girasoli

— VZN
fonte