Durezza di approssimazione senza teorema del PCP

Un'importante applicazione del teorema del PCP è che produce risultati di tipo "durezza di approssimazione". In alcuni casi relativamente più semplici si può dimostrare tale durezza senza PCP. Esiste tuttavia un caso in cui la durezza del risultato di approssimazione è stata dimostrata per la prima volta usando il teorema del PCP, cioè il risultato non era noto prima, ma in seguito è stata trovata una prova più diretta che non dipende dal PCP? In altre parole, esiste un caso in cui il PCP è apparso prima necessario, ma in seguito potrebbe essere eliminato?

Un esempio è questo documento:

Guruswami, V., & Khanna, S. (2004). Sulla durezza di 4 colori un grafico a 3 colori. SIAM Journal on Discrete Mathematics , 18 (1): 30-40. collegamento

Utilizzando il teorema PCP, Khanna, Linial e Safra (2000) hanno dimostrato che NP è difficile colorare un grafico a 3 colori usando solo 4 colori. Più tardi, Guruswami e Khanna (2004) hanno fornito, tra l'altro, una prova priva di PCP per lo stesso risultato.

Per il problema dei percorsi disgiunti del bordo massimo nei grafici diretti, la carta di Ma & Wang (2000) si basava sul problema della copertina dell'etichetta che a sua volta si basa sul teorema del PCP. Successivamente una semplice riduzione attraverso la durezza del problema del 2-disgiunto è stata trovata da Guruswami et. al. (2003) che ha migliorato anche la durezza.

Ci sono esempi dal conteggio approssimativo. Contare approssimativamente il numero di incarichi soddisfacenti di una relazione NP può essere solo più difficile che decidere se esiste un compito soddisfacente, quindi non sorprende che non si abbia bisogno del teorema del PCP per dimostrare la durezza di tali problemi. Tuttavia, il teorema del PCP a volte fornisce un comodo punto di partenza, ad esempio, per questo documento sul conteggio approssimativo del numero di set indipendenti in un grafico sparso: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf Successivamente, Sly ha dimostrato un risultato di durezza per il conteggio approssimativo di set indipendenti basati solo sulla durezza NP standard di Max-Cut: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

Un'altra risposta, che è in uno spirito un po 'diverso rispetto alle risposte precedenti, è questo articolo di Uri Feige: relazioni tra complessità media dei casi e complessità approssimativa .

Uri mostra che i presupposti di un caso medio possono sostituire il teorema del PCP per dimostrare la durezza dell'approssimazione di alcuni problemi. Si noti, tuttavia, che non sappiamo come dimostrare le ipotesi relative al caso medio e abbiamo alcune prove che non saremo in grado di dimostrarle sulla base delle ipotesi di durezza NP standard (vedere gli articoli di Feigenbaum-Fortnow, Bogdanov-Trevisan, ecc.).