Risultati di limiti / durezza inferiori di Noisy Parity (LWE)

Alcuni retroscena:

Sono interessato a trovare limiti inferiori (o risultati di durezza) "meno noti" per il problema di apprendimento con errori (LWE) e generalizzazioni come l'apprendimento con errori su anelli. Per definizioni specifiche, ecc., Ecco un bel sondaggio di Regev: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

Il tipo standard di ipotesi in stile (R) LWE è la riduzione (forse, quantistica) al problema vettoriale più breve su reticoli (forse ideali). La solita formulazione di SVP è nota per essere NP-dura, ed è CREDUTO che sia difficile da approssimare a piccoli fattori polinomiali. (Correlato: è difficile approssimare CVP all'interno di / quasi-polinomiali / fattori: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) Ho anche sentito dire che (in termini di algoritmi quantistici) l'approssimazione di alcuni problemi reticolari (come SVP) a piccoli fattori di approssimazione polinomiale è correlata al problema del sottogruppo nascosto non abeliano (che si ritiene sia difficile per le sue ragioni), anche se non ho mai visto una fonte esplicita e formale per questo.

Sono più interessato, tuttavia, ai risultati di durezza (di qualsiasi tipo) che derivano dal problema della parità rumorosa da Learning Theory. Questi potrebbero essere risultati di durezza della classe di complessità, limiti inferiori algoritmici concreti, limiti di complessità del campione o persino limiti inferiori della dimensione di prova (ad esempio Risoluzione). È noto (forse ovvio) che LWE può essere visto come una generalizzazione del problema Noisy Parity / Learning Parity with Noise (LPN), che (da Google) sembra essere stato usato nella riduzione della durezza in settori come la teoria dei codici e PAC apprendimento.

Guardandomi intorno, ho scoperto solo i LIMITI SUPERIORI (leggermente poco esponenziali) sul problema LPN, ad esempio http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

Domanda:

So che LPN è CREDUTO DURO nella comunità dell'apprendimento. La mia domanda è: perché?

È perché tutti hanno provato davvero tanto, ma nessuno ha ancora trovato un buon algoritmo? Sono noti limiti inferiori della varietà in corsivo sopra (o altri che ho lasciato fuori)?

Se la risposta è molto chiara, un breve riassunto di ciò che è noto e / o riferimenti a sondaggi / appunti delle lezioni sarebbe ottimo.

Se molto è sconosciuto, più documenti "all'avanguardia", meglio è. :) (Grazie in anticipo!)

Si ritiene che il problema LPN sia difficile, ma come la maggior parte dei problemi che riteniamo siano difficili, la ragione principale è che molte persone intelligenti hanno cercato di trovare un algoritmo efficiente e non sono riuscite.

Le migliori "prove" per la durezza di LPN provengono dall'elevata dimensione di query statistica del problema di parità. Le query statistiche catturano gli algoritmi di apprendimento più noti, ad eccezione dell'eliminazione gaussiana (che fallisce ogni volta che viene introdotto il rumore), hash e tecniche simili a queste due. È difficile progettare algoritmi di query non statistiche e questo è il principale collo di bottiglia. Un'altra prova della durezza di LPN è la sua relazione con altri problemi difficili (come LWE, SVP, come hai sottolineato).

Per la durezza SQ, ecco il link al documento di Kearns ('98).

Per progressi sui limiti superiori di questo problema, ci sono diversi risultati:

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$