Set più piccolo non incluso in una raccolta di set

Dato come input un numero intero $n$ e un insieme di insiemi di elementi di , qual è la complessità di trovare un insieme di elementi di tale che ha una cardinalità minima e è incluso in nessuno dei set di ?{ 1 , . . . , N } T { 1 , . . . , n } T T $S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Sia e sia F = { S 1 , S 2 , … , S m } ⊆ 2 [ n ] la famiglia del set di input. A meno che non abbia frainteso la tua formulazione del problema, vogliamo trovare un set di dimensioni minime T ⊆ [ n ] tale che T ⊈ S i per tutti i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Per rispondere alla tua domanda, nota che se e solo se T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ . Cioè, T deve intersecare il complemento di ogni S i . Ma questo significa che il tuo problema è essenzialmente equivalente al problema del set di colpire (considera di colpire il set con input G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Colpire Set. Data una famiglia di set e un intero k , esiste un set T ⊆ [ n ] con | T | ≤ k e T ∩ S ≠ ∅ per tutte le S ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Il set di colpi è noto per essere NP-completo e non può essere risolto in modo più lento rispetto al tempo meno che l'ipotesi del forte tempo esponenziale non fallisca.$O(2^n)$

Il problema equivale al Problema Set Cover / Problema di colpire Set:

Data una famiglia di sottoinsiemi di { 1 , ... , n } , trovare un insieme T ⊂ { 1 , ... , n } di minima dimensione possibile che si interseca ogni insieme in famiglia F .$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Il tuo problema equivale al problema del set di colpire poiché non si trova in nessun set in S se e solo se interseca ogni set in F = { ˉ A : A ∈ S } . (Quindi, per risolvere un'istanza del problema del set colpire, è sufficiente risolvere l'istanza del problema con S = { ˉ A : A ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Il problema dell'Hitting Set è NP-difficile [Karp '72]. Esiste un algoritmo di approssimazione e una durezza corrispondente del risultato di approssimazione [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$