La completezza / durezza NP deve essere costruttiva?

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C'è qualche con le seguenti proprietà: $L\in {\bf NP}$

È noto che implica . $L\in {\bf P}$ ${\bf P}={\bf NP}$
Non c'è (nota) tempo polinomiale riduzione Turing di (o qualche altro problema -Complete) a . $SAT$ ${\bf NP}$ $L$

In altre parole, se un algoritmo temporale polinomiale per implica il crollo di in , allora è necessario che questa "durezza generale" di per debba essere in qualche modo , nel senso che, per esempio, deve essere riducibile a tramite una riduzione specifica? $L$ ${\bf NP}$ ${\bf P}$ $L$ ${\bf NP}$ $constructive$ $SAT$ $L$

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— Andras Farago
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Mi sembra che il titolo e il corpo facciano due domande diverse. Ad esempio, la risposta di Kaveh funziona per la domanda nel corpo, ma non per la domanda nel titolo.

— Robin Kothari,

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Sì, esistono insiemi di questo tipo, prendi qualsiasi set (qualsiasi set che è dimostrabile -intermedio assumendo ), ad esempio costruirne uno da SAT usando il teorema di Ladner. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Nota che la tua deve considerare un , poiché è in ma non è completo per questo. Nota anche che stai assumendo che altrimenti non esiste una come ogni problema non banale sarebbe completo per se . Inoltre, le condizioni che hai indicato non implicano completezza, quindi la domanda nella prima parte non è la stessa della costruttività della completezza. $L$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

Per quanto riguarda la domanda nel titolo, vale a dire "il -hardness deve essere costruttivo?". $\mathsf{NP}$

La risposta dipende da cosa intendiamo per "costruttivo". Classicamente, un problema decisionale è definito come -hard iff $A$ $\mathsf{NP}$

\forall B \in N P B \leq_{m}^{P} A

$\forall B\in \mathsf{NP} \ B \leq^\mathsf{P}_m A$

che significa

\forall B \in N P \exists f \in F P \forall x \in {0, 1}^{*} (x \in B \leftrightarrow f (x) \in A)

$\forall B\in \mathsf{NP} \ \exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in B \leftrightarrow f(x)\in A)$

E secondo il teorema di Cook questo equivale a

S A T \leq_{m}^{P} A

$SAT \leq^\mathsf{P}_m A$

che significa

\exists f \in F P \forall x \in {0, 1}^{*} (x \in S A T \leftrightarrow f (x) \in A)

$\exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in SAT \leftrightarrow f(x)\in A)$

Come possiamo rendere costruttiva questa definizione? Mi sembra già molto costruttivo. Credo che ciò che si vuole porre è se siamo in grado di dimostrare questo per un po ' senza sapere che cosa è in modo esplicito. Non ricordo di aver mai visto una tale prova di durezza. $A$ $f$

Classicamente anche quando non abbiamo una funzione specifica c'è una funzione, dicendo che è impossibile che nessuna funzione sia una riduzione equivale a dire che una funzione è una riduzione. Per parlare di costruttività dobbiamo essere più premurosi. Ad esempio, possiamo parlare di affermazioni che sono dimostrabili in modo classico ma non costruttivo (ad esempio intuizionismo in cui ha senso un diverso stato di conoscenza matematica, Google per "matematico ideale" o controlla questo ).

Intuitivamente mi sembra plausibile che possiamo dimostrare tale affermazione usando una prova per contraddizione e senza dare alcuna funzione di riduzione esplicita. Ma ciò non significa che non ci siano prove costruttive dell'affermazione. Per dire di più che non esistono prove costruttive, dobbiamo essere più specifici: prove in quale teoria / sistema? cosa intendiamo con una prova costruttiva?

— Kaveh
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Perché? Un algoritmo P-time per un problema intermedio implica P = NP?

— Mohammad Al-Turkistany,

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N P

$\mathsf{NP}$

P

$\mathsf{P}$

P \neq N P

$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

N P

$\mathsf{NP}$

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$k$

"Isomorfo" è diverso da una riduzione di Turing (in effetti significativamente più debole), ma questi insiemi hanno mostrato di essere NP-hard direttamente e per quanto ne so non c'è alcuna riduzione nota a SAT. Detto questo, dalla definizione di completezza NP ci deve essere una riduzione tra i due, quindi mentre questo soddisfa il criterio della riduzione "non nota", potrebbe non essere esattamente quello che stai cercando.

[1] Joseph, D. and Young, P. Alcune osservazioni sulle funzioni del testimone per insiemi non polinomiali e non completi in NP. Teorica Informatica. vol 39, pag. 225--237. 1985. Elsevier.

— SAMM
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Di seguito è riportato un esempio per la domanda nel titolo. È tratto dal seguente documento: Jan Kratochvil, Petr Savicky e Zsolt Tuza. Un'altra occorrenza di variabili fa passare la soddisfacibilità da banale a np-complete. SIAM Journal on Computing, 22 (1): 203–210, 1993.

Sia f (k) il numero intero massimo r tale che ogni forumula k-SAT in cui ogni variabile si presenta al massimo r volte sia soddisfacente. Non è noto se f (k) sia calcolabile, sebbene siano noti limiti relativamente stretti per questo (vedi H. Gebauer, R. Moser, D. Scheder ed E. Welzl. The Lov ́asz Local Lemma and Satisfiability. Algoritmi efficienti, pagine 30–54, 2009.).

(k, s) -SAT è il problema k-SAT limitato alle forumlas in cui ogni variabile si verifica al massimo s volte.

Kratochvil et al. ha dimostrato che (k, f (k) +1) -SAT è NP-completo. Nota che (k, f (k)) - i problemi SAT sono sempre soddisfacenti (per definizione). La riduzione stessa non è costruttiva: si noti che la riduzione genera una formula in cui ogni variabile si verifica al massimo f (k) +1 volte, anche se non è noto che f (k) sia calcolabile. L'idea non costruttiva principale è che anche se il valore f (k) è sconosciuto, esiste una formula (k, f (k) +1) -SAT che non è soddisfacente e manipolano quella formula in base alle loro esigenze .

— O Sattath
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k

$k$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

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@Kaveh In effetti la riduzione non è calcolabile, ma il problema stesso è: (k, s) -SAT è chiaramente in NP per ogni s. Il parametro che rende completo il problema NP, ovvero f (k) +1, è l'oggetto che non è calcolabile.

— O Sattath,

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Agrawal e Biswas hanno presentato un linguaggio NP completo per il quale non è nota la riduzione di Karp o Cook. La prova della completezza segue perché la sua relazione testimone è universale (la relazione testimone ha l'unione richiesta e gli operatori di equivalenza devono essere universali). La lingua è indicata nella sezione 6.3 del riferimento.

M.Agrawal, S.Biswa, Relazioni universali in Atti Conferenza IEEE sulla struttura della teoria della complessità (1992), pp. 207–220.

— Mohammad Al-Turkistany
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Un linguaggio NP completo è, per definizione, completo in Riduzioni Karp, quindi cosa significa la prima frase?

— Emil Jeřábek,

@ EmilJeřábek Significa esattamente ciò che dice, non si conosce la riduzione di Karp o Cook. Agrawal e Biswas hanno dimostrato che i set con relazioni universali sono NP-completi. Ti consiglio di leggere il giornale.

— Mohammad Al-Turkistany,

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No, non può significare ciò che dice, perché ciò che dice non ha senso. Qualcosa che non è noto per essere completo con le riduzioni di Karp è, a maggior ragione, non noto per essere NP-completo. Ho sfogliato l'abstract e l'introduzione del documento e ancora non ho trovato nulla che corrisponda alla tua descrizione.

— Emil Jeřábek,

@ EmilJeřábek Leggi attentamente la sezione 6.3. Temo che la scrematura non sia sufficiente in questo caso :)

— Mohammad Al-Turkistany,

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@ MohammadAl-Turkistany, credo che il punto sia che le affermazioni "non è noto per essere complete sotto le riduzioni di K." e "non c'è nessuna riduzione di K. nota" hanno significati diversi. Il post dice una cosa e il tuo commento dice l'altra.

— usul