Gli accoglienti quartieri di "P" e di "NP-hard"

Lascia che $X$ sia un compito algoritmico. (Può essere un problema di decisione o un problema di ottimizzazione o qualsiasi altra attività.) Chiamiamo "dal lato polinomiale" se si presume che sia NP-difficile implica che il crineario polinomiale collassa. Chiamiamo "sul lato NP" se si presume che ammetta un algoritmo polinomiale implica che la gerarchia polinomiale collassa.X X $X$$X$$X$$X$

Naturalmente, ogni problema in P è sul lato polinomiale e ogni problema che è NP-difficile è sul lato NP. Inoltre, ad esempio, il factoring (o qualsiasi altra cosa in NP intersezione coNP) è sul lato polinomiale. L'isomorfismo grafico è sul lato polinomiale. QUANTUM-SAMPLING è nel lato NP.

1) Sono interessato a più esempi (il più naturale possibile) di compiti algoritmici nel lato polinomiale e (soprattutto) a più esempi nel lato NP.

2) Ingenuamente sembra che il lato NP sia una sorta di "quartiere" dei problemi NP-difficili, e il lato P è un "quartiere di P". È un'intuizione corretta considerare i problemi nel lato NP come "considerevolmente più difficili" rispetto ai problemi nel lato P. O anche considerare i problemi nella parte NP come "moralmente NP-difficile?"

3) (Questo potrebbe essere ovvio ma non lo vedo) C'è una $X$ su entrambi i lati o ci sono ragioni teoriche per ritenere improbabile che tale $X$ sia improbabile. Aggiorna La risposta è SÌ; vedi la risposta di Yuval Filmus di seguito.

(Se questi "lati" sono correlati alle classi di complessità effettive e se mi manca qualche gergo cc pertinente o risultati pertinenti, per favore fatemelo sapere.)

Aggiornare:Ormai ci sono molte ottime risposte alla domanda. Come notato prima da Yuval Filmus e menzionato di nuovo, la domanda non è formale e sono necessarie alcune restrizioni sull'argomento che mostra che X è sul lato P / lato NP. (Altrimenti, puoi avere X come compito di presentare una prova per 0 = 1 che è su entrambi i lati.) Mettendo da parte questo, può accadere che i problemi X (sinceramente) sul lato NP catturino in qualche modo la durezza di SAT, sebbene ciò possa valere anche per alcuni problemi sul lato P in cui la durezza di SAT è indebolita (anche leggermente) in modo dimostrabile. Yuval Filmus ha dato una versione indebolita di SAT che si trova su entrambi i lati. Andy Drucker ha fornito (in due risposte) cinque esempi interessanti tra cui un riferimento alle gerarchie Low e High di Schöning e Scott Aaronson ha fornito ulteriori esempi interessanti, ha menzionato la questione dell'inversione di una funzione a senso unico che è vicina alla cattura della durezza NP e tuttavia sul lato P, e la sua risposta discute anche del caso interessante di QUANTUMSAMPLING. Ho menzionato un vecchio risultato di questo tipo da Feige e Lund.

I termini "sul lato P" e "sul lato NP" e, naturalmente, il titolo della domanda, ci incoraggiano a immaginare un "quartiere accogliente" che circonda P e un altro "quartiere accogliente" che circonda i problemi NP-difficili. Tuttavia, vorrei sostenere che questi due quartieri non sono affatto così "accoglienti"!

Come prima osservazione, ci sono problemi "sul lato P" che sembrano "moralmente" molto più vicini alla NP-difficile che a P. Un esempio, anticipato ovviamente da Gil, è il problema generale dell'inversione delle funzioni a senso unico ( a seconda esattamente del tipo di riduzioni consentite; vedere Bogdanov-Trevisan o Akavia et al.).

Al contrario, ci sono anche problemi "dal lato NP" che sembrano "arbitrariamente lontani" dall'essere NP-difficili. Un esempio sciocco è un linguaggio casuale L, con probabilità 1 su L! Se tale L è in P, allora 0 = 1 e la matematica è incoerente, e quindi anche il PH collassa. ;-D

(Nota che un linguaggio casuale L è anche "sul lato P", con probabilità 1 su L. Poiché quasi tutti questi L hanno la proprietà che se sono NP-hard, allora NP⊆BPP e PH collassano. E questo fornisce una prova, molto più semplice dell'appello al Teorema di Ladner, che esistono lingue su entrambi i "lati". In effetti, mostra che l'infinito infinito delle lingue, "quasi tutte", di fatto al 100% - sono su entrambi i lati!)

Sembra un gioco giovanile, ma c'è una lezione seria che mi piacerebbe trarne. Direi che, anche se QUANTUM SAMPLING è formalmente "dal lato NP", quel problema è quasi più vicino all'essere "moralmente NP-difficile" rispetto al linguaggio casuale L. Arkhipov e io (e indipendentemente, Bremner-Jozsa-Shepherd) hanno mostrato che, se QUANTUM SAMPLING è in P (o meglio, in SampBPP, la classe di problemi di campionamento polinomialmente risolvibili), allora P ^#P = BPP ^NP , e quindi il la gerarchia polinomiale collassa. Tuttavia, se sei una macchina BPP, un oracolo per BosonSampling, per quanto ne sappiamo, non ti avvicina alla risoluzione dei problemi NP-completi di quanto non farebbe un oracolo casuale. Solo se hai già la capacità di risolvere i problemi NP-completi, ad esempioMacchina ^NP : noti che l'oracolo di BosonSampling aumenta ulteriormente le tue capacità, fino a #P. Ma la proprietà di incrementare NP fino a #P sembra diversa da, e forse anche "ortogonale", la proprietà di essere NP-dura da sola.

Per inciso, un meraviglioso problema aperto suggerito dalla domanda di Gil è se BosonSampling è anche "sul lato P". Cioè, possiamo dimostrare che se NP si riduce a BosonSampling il PH collassa? Anche se a me potrebbe mancare qualcosa di ovvio, a prima vista non ho idea di come provare una cosa del genere, non più di quanto sappia dimostrare l'implicazione più forte che se NP ⊆ BQP poi PH collassa.

Due commenti, nessuno dei quali equivale a una risposta, ma che può fornire qualche utile ulteriore lettura.

1) Schöning ha definito due classi di problemi NP chiamati "Bassa Gerarchia" e "Alta Gerarchia", che sono legate alle tue nozioni. In particolare, i problemi in LowH sono "sul lato P", e problemi in HighH sono sul lato NP. Un certo numero di risultati noti in termini di complessità possono essere dichiarati in questo quadro. Ad esempio, il teorema di Karp-Lipton afferma che NP non è in P / poli a meno che il PH non collassi; questa è una conseguenza del fatto che NP $\cap$ P / poli è contenuto in un livello fisso di LowH (come mostra la tecnica di prova di Karp-Lipton). Si noti che non ci aspettiamo che NP P / poly, o LowH, sia contenuto in P. Per un sondaggio su LowH in particolare, vedere$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) Considera il problema in cui ci viene fornita una tabella di verità completa di una funzione booleana e ci viene chiesto se ha un circuito booleano di qualche dimensione . Questo problema è in NP, ed è improbabile che sia in P (implicherebbe diverse conseguenze sorprendenti). D'altra parte, una prova della completezza NP per questo problema, se obbedisce a certe restrizioni abbastanza naturali, ci darebbe nuovi e potenti risultati nella teoria della complessità. Questo è stato mostrato da Kabanets e Cai in$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Per essere chiari, non ci sono prove concrete che questo problema non lo sia NP-difficile o che sia facile in ogni senso. Ma sembra abbastanza diverso dagli altri problemi difficili in NP. Penso che questo sia tra i candidati più interessanti per i problemi NP-intermedi, e non uno che è ben noto.

La dimostrazione del teorema di Ladner di Russell Impagliazzo fornisce un esempio per 3. Per completezza, di seguito copio la definizione del compito algoritmico $X$ e traccio la prova che si trova su "entrambe le parti", in senso forte: in entrambi i casi, PH collassa a P. Maggiori dettagli sono disponibili nella nota collegata (tratta dal blog di Fortnow e Gasarch), che è (leggermente) adattata dall'appendice a Uniformly Hard Sets di Downey e Fortnow.

Sia un elenco di tutte le macchine di Turing Polytime con clock, in modo tale che M i termini in time n log log i . Nel sequel menzioneremo le coppie ( α , β ) . Si presume che vengano codificati come stringhe binarie in modo ragionevole.$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

Definiamo ricorsivamente una funzione . Innanzitutto, f ( 1 ) = 1 . Dato f ( n ) , f ( n + 1 ) è definito come segue. Sia X n costituito da tutte le coppie ( ϕ , 1 | ϕ | f ( | ϕ | ) ) tali che | ϕ | ≤ n e$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$è una formula soddisfacente. Se esiste una stringa binaria di lunghezza al massimo log n tale che x ∈ L ( M f ( n ) ) △ X n allora f ( n + 1 ) = f ( n ) + 1 , altrimenti f ( n + 1 ) = f ( n ) . Non è difficile verificare che f ( $x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$può essere calcolato nel tempo polinomiale in $n$ .

Infine, possiamo definire il compito algoritmico : è costituito da tutte le coppie ( ϕ , 1 | ϕ | f ( | ϕ | ) ) per le quali ϕ è un CNF soddisfacente. Si noti che X = ⋃ n X n .$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

Se aveva un algoritmo polytime M i, allora f ( n ) ≤ i per tutti n e quindi M i può essere usato per risolvere SAT.$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

Quindi, supponiamo che ci sia stata una riduzione del tempo polifunzionale da SAT a X , diciamo prendendo il tempo n k . Se X aveva un algoritmo polytime allora come abbiamo visto PH collassa su P. Altrimenti, f ( n ) ⟶ ∞ , e in particolare, f ( n ) > k per n ≥ n 0 . La riduzione g prende quindi qualsiasi istanza di SAT di dimensioni maggiori di n 0 e la riduce a un'istanza più piccola o genera una stringa che non è della forma ( ϕ $g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$ ; quest'ultimo caso può essere riconosciuto in polytime poiché f è polytime. Iterando g , otteniamo un algoritmo polytime per SAT.$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

L'ipotesi che la Gerarchia polinomiale non collassi è stata una delle strade più fertili per la scoperta nella teoria della complessità. Molti di questi risultati possono essere definiti come dicendo che specifici compiti algoritmici sono "sul lato P" o "sul lato NP". non-collasso di P H sembra avere molte più conseguenze dell'ipotesi più debole P ≠ N P , e sarebbe impossibile riunirli tutti in un unico breve post. Vorrei solo fare tre esempi che danno un piccolo senso della varietà di questo lavoro.$PH$$P \neq NP$

1) Supponiamo che ci sia dato come input un circuito con "oracle gates", che effettua due interrogazioni oracle durante qualsiasi calcolo. Vogliamo sapere se accetta quando viene eseguito su un oracolo Certo, questo è N P -hard. Ma supponiamo saremmo contenuti per ridurre il circuito ad una equivalente che fa solo una singola query di S A T . Anche questo compito è difficile? Non sappiamo se risolverlo implicherebbe P = N P . Tuttavia, Kadin nel '88 mostrò che così facendo sarebbe crollata la poli gerarchia. Per un sondaggio e risultati migliori, vedere questo documento di Fortnow, Pavan e Sengupta:$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$ deriva principalmente dalla dimensione dello spazio di ricerca della soluzione di un'istanza.

In risposta a una domanda di Bodlaender, Downey, Fellows ed Hermelin, Fortnow e Santhanam hanno dimostrato che una tale riduzione della compressione è improbabile, perché collasserebbe la Gerarchia poligonale:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Il loro risultato si applicava a riduzioni randomizzate che consentivano errori unilaterali. Ho dimostrato un risultato corrispondente per errore fronte-retro in

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Ciascuno di questi articoli fornisce in realtà informazioni più forti e specifiche rispetto ai risultati sopra citati.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Mi sono imbattuto in questo risultato da Feige e Lund, il che dimostra che, a meno che la gerarchia polinomiale non collassi, è difficile indovinare anche informazioni parziali sul permanente di una matrice casuale.

Uriel Feige e Carsten Lund, sulla durezza del calcolo delle matrici casuali permanenti. Complessità computazionale 6 (1996/1997) 101-132.

Consentitemi di menzionare anche due ulteriori risultati pertinenti portati alla mia attenzione da Uri Feige:

I seguenti due articoli lo applicano nel contesto della kernelizzazione (algoritmi trattabili con parametri fissi).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: Su problemi senza kernel polinomiali. J. Comput. Syst. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: impossibilità di compressione di istanze e PCP succinti per NP. J. Comput. Syst. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)