Applicazioni del TCS alla matematica classica?

In TCS spesso utilizziamo risultati e idee potenti della matematica classica (algebra, topologia, analisi, geometria, ecc.).

Quali sono alcuni esempi di quando è successo il contrario?

Eccone alcuni che conosco (e anche per dare un'idea del tipo di risultati che sto chiedendo):

• Schiume cubiche (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao e Avi Wigderson: cubi sferici e arrotondamenti in dimensioni elevate, FOCS 2008)
• Il programma di teoria della complessità geometrica. (Sebbene questa sia tecnicamente un'applicazione della geometria algebrica e della teoria della rappresentazione al TCS, sono state indotte a introdurre nuovi gruppi quantici e nuove idee puramente algebro-geometriche e di teoria della rappresentazione nella loro ricerca di P vs NP.)
• Lavora su incorporamenti metrici ispirati agli algoritmi di approssimazione e ai risultati di inapprossimabilità

In particolare, non cerco applicazioni del TCS alla logica (teoria dei modelli finiti, teoria delle prove, ecc.) A meno che non siano particolarmente sorprendenti - la relazione tra TCS e logica è troppo stretta, standard e storica ai fini di questa domanda.

Gli espansori sono stati sviluppati in larga misura in TCS e hanno connessioni e applicazioni profonde con la matematica.

C'è la prova di Dvir della congettura di Kakeya sul campo finito.

Un bell'esempio che conosco è l'articolo di Michael Freedman intitolato " Classi di complessità come assiomi matematici " che fornisce un'implicazione di nel campo della topologia a 3 varietà.$P^{\sharp P}\neq NP$

I principi di invarianza erano motivati ​​dalla durezza dell'approssimazione, ma sono utili teoremi analitici. Il principio: una funzione di basso grado, in cui ciascuna delle variabili ha una piccola influenza, si comporta quasi allo stesso modo, indipendentemente dal fatto che gli input siano variabili casuali indipendenti o (corrispondenti) variabili casuali gaussiane. Questa è una generalizzazione del teorema del limite centrale; lì la funzione è la media delle variabili.

Stabilità al rumore di funzioni con basse influenze: invarianza e ottimalità E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. Annals of Mathematics 171 (1), pagg. 295-341 (2010). FOCS '05.

I teoremi di test di basso grado sono stati motivati ​​da applicazioni PCP, ma sono teoremi algebrici interessanti. Il principio: una funzione -variata su un campo finito F che, in media sulle linee in F n , è vicina nella distanza di Hamming a un polinomio di basso grado sulla linea , è vicina nella distanza di Hamming a un polinomio di basso grado sulla intera F n .$n$$F$$F^n$$F^n$

La vicinanza nella distanza di Hamming a un polinomio di basso grado in un determinato spazio significa che la funzione si identifica con un polinomio di basso grado su una frazione non trascurabile dello spazio.

Test a basso grado migliorati e sue applicazioni . S. Arora e M. Sudan. In ACM STOC 1997.

Un test a basso grado di probabilità di errore sub-costante e una caratterizzazione di PCP di errore sub-costante di NP , R.Raz, S.Safra, Atti del 29 ° STOC, 1997, pp. 475-484

Anche se sono di parte, penso che sia giusto dire che varie idee di TCS hanno contribuito al progresso sulla congettura inversa per la norma di Gowers, vedi ad esempio il documento di Green e Tao .

La teoria della calcolabilità fa parte di TCS? In tal caso, la Teoria della computabilità e la Geometria differenziale di Bob Soare, che espone le applicazioni dei risultati ottenuti con Csima, ne è un esempio.

Non so perché il link non viene visualizzato .... Qui: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Estrattori è un altro posto dove cercare. Ad esempio, l'articolo di Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04 fornisce (tra le altre cose) migliorate costruzioni dei grafici di Ramsey (un problema che era stato aperto per un po 'in matematica discreta).

De Wolf e Drucker menzione nella loro indagine sulle prove quantistica circa collegamento sorprendente tra quantistica complessità delle query e -approximation delle funzioni simmetriche da polinomi.$\epsilon$

La costruzione dell'espansore Zig-Zag è stata utilizzata per costruire vari esempi interessanti di gruppi con determinate proprietà inaspettate, vedi Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson . La costruzione stessa è molto interessante da un punto di vista matematico puro, poiché ha utilizzato strumenti completamente diversi (motivati ​​dal punto di vista del CS nel trattare l'entropia) per costruire espansori rispetto alle costruzioni precedenti. (Tuttavia, forse l'applicazione più celebre è all'interno dell'algoritmo dello spazio di log di TCS- Reingold per la connettività non indirizzata .)

Vorrei menzionare un altro paio di applicazioni:

Forse il contributo più importante di TCS alla matematica pura è l'arte delle riduzioni. Le riduzioni della forma utilizzata dal TCS nella complessità computazionale e in altri luoghi rappresentano un paradigma / strumento matematico che è più sviluppato nel TCS rispetto ad altre aree della matematica.

La nozione di una prova probabilistica: qui non mi riferisco al metodo probabilistico (che è radicato in matematica ma ha molte applicazioni in CS) ma piuttosto al fatto che un'affermazione matematica come l'affermazione che afferma un certo numero è un numero primo, può ricevere una prova "oltre ogni ragionevole dubbio". È una svolta concettuale proveniente da CS, sebbene non avesse ancora molte applicazioni nel modo in cui viene praticata la matematica.

La dimostrazione costruttiva di Moser del Lovasz Local Lemma utilizza idee di informatica, fornisce una nuova dimostrazione del lemma di Lovasz Local e risolve un problema a cui la gente sta pensando da tempo.

Il metodo della funzione di barriera Batson-Spielman-Srivastava ha avuto una serie di applicazioni alla geometria e all'analisi funzionale, sorto in informatica, ed è una forma molto originale di potenziale argomento di funzione, che ricorda il metodo degli stimatori pessimistici. Inoltre, va contro la saggezza convenzionale che analizzare il polinomio caratteristico delle matrici casuali sia intrattabile, e invece è meglio guardare i momenti della matrice.

Il metodo della funzione barriera è stato inizialmente sviluppato per dimostrare l'esistenza di (e costruire nel tempo polinomiale deterministico) di sparsificatori di grafici che conservano le loro proprietà spettrali. Tali sparsificatori erano motivati ​​da applicazioni algoritmiche: essenzialmente qualsiasi algoritmo che ha bisogno di calcolare approssimativamente i tagli può essere accelerato ricevendo come input una versione sparsificata dell'input originale.

$\ell_1^n$

Avanti veloce al 2013, e il metodo della funzione barriera, sugli steroidi, e aumentato con il meccanismo dei polinomi intrecciati, è stato utilizzato da Marcus, Srivastava e Spielman , per risolvere uno dei problemi più noti nell'analisi funzionale, il problema di Kadison-Singer . Questo problema nasce da domande fondamentali nella fisica matematica, ma va molto oltre - è noto per essere equivalente a dozzine di problemi in tutta la matematica. Per non parlare del fatto che molti analisti (inclusi Kadison e Singer) non pensavano nemmeno che il problema avesse una risoluzione positiva (l'indagine citata da Cassaza et al. Specula su possibili controesempi).

Un esempio che mi viene in mente è il Teorema del Incorporamento di Higman e le sue conseguenze teoriche di gruppo.

Teorema dell'incorporamento di Higman: un gruppo G è generato finemente con una presentazione ricorsiva se G è un sottogruppo di un gruppo presentato in modo fine.

(Si noti che la parte sinistra dell'equivalenza ha una componente computazionale mentre la destra è puramente teorica di gruppo).

Il significato di casualità , ciò che spiega come una "sequenza casuale" e le domande correlate sono stati importanti per secoli in matematica, teoria della probabilità e statistica. L'informatica teorica (e la teoria della complessità) offre approfondimenti molto solidi e convincenti per la comprensione della casualità.

Mentre il metodo probabilistico è iniziato nella derandomizzazione matematica, che è un importante concetto matematico sviluppato principalmente in CS.

Questo è legato alla risposta di Moritz .

Teoria e algebraicità degli automi

La teoria degli automi ha dato alcuni risultati interessanti per caratterizzare l'algebraicità. Ne cito due, con riferimenti. Non è affatto esaustivo.

$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. Numeri trascendentali

Le sequenze automatiche vengono anche utilizzate per caratterizzare i numeri trascendentali. Per esempio,

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

Certo, il primo oggetto è un risultato molto classico!

Riferimenti.

[1] Gilles Christol. Ensemble presque périodiques k-reconnaissables . In Theoretical Computer Science 9 (1), pp 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. Automi finiti ed estensioni algebriche dei campi funzione . Nel Journal de théorie des nombres di Bordeaux 18 , pp 379-420, 2006. arXiv: math / 0410375 .

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud. Sulla complessità dei numeri algebrici I. Espansioni in basi intere . In Annals of Mathematics 165 (2), pagg. 547-565, 2007.

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS è una branca della matematica e la direi un po 'più ampia. Viviamo nell'era algoritmica, quasi tutti, in tutte le attività umane, inventa / reinventa algoritmi, principalmente euristica. Ma alcuni di questi algoritmi sono 1. buoni; 2. contenere (seppellite) risposte a profonde domande matematiche; 3. Attendere un'analisi / miglioramento / attenzione matematica professionale. La mia esperienza personale: un incredibile potere di una euristica fisica / machine learning, vale a dire l'approssimazione di Bethe, come tecnica di prova. Il problema principale è che possibili incontri di questo tipo si verificano principalmente nel settore, dove nessuno si preoccupa di tali approfondimenti / rivelazioni non legate al prodotto.