La risposta breve : la conoscenza davvero minima della matematica per comprendere la prima metà del piano di GCT, una volta che hai visto un po 'di gruppi, anelli e campi, è sostanzialmente esposta nel capitolo 3 della mia tesi (plug spudorato auto ). Quel capitolo è, tuttavia, incompleto, in quanto non arrivo alla teoria della rappresentazione delle cose. La teoria della rappresentazione è cruciale per la seconda metà del piano (motivo per cui sto lavorando per estendere quel capitolo per includerlo).
Se vuoi davvero entrare in GCT, Simmetria, Rappresentazioni e Invarianti di Goodman e Wallach e Azioni e Invarianti di gruppi algebrici di W. Ferrers Santos sono entrambi relativamente indipendenti e hanno molte buone informazioni pertinenti a GCT. Non sono sicuro che siano le migliori fonti da cui imparare, poiché ho imparato a conoscerli solo dopo aver appreso molto di questo materiale, ma sono buoni in termini di rapporto tra ciò che coprono e ciò che è rilevante per GCT. Fulton e Harris sono fantastici per la teoria della rappresentazione e molti degli esempi / esercizi del libro sono rilevanti per GCT.
La risposta più lunga : dipende davvero da cosa / quanto vuoi imparare su GCT, come ha sottolineato Vijay. Gli argomenti di seguito sono proprio quello che penso sia lo sfondo necessario, poiché questa era la domanda. Non sono sicuro che questo sia un elenco completo - consiglierei di provare a leggere alcuni dei documenti su GCT, e quando ti perdi vai a cercare materiale di base. Mentre stai imparando il materiale di base, ogni tanto torna ai documenti GCT e vedi se puoi seguire ulteriormente.
(A seconda di ciò che vuoi imparare, in realtà non sarei d'accordo con Zeyu sul fatto che dovresti provare prima qualche algebra commutativa laureata, anche se a un certo punto nell'apprendimento della GCT questo diventerà necessario.)
Se vuoi capire, ad esempio, il recente documento FOCS di Mulmuley , ti consigliamo di capire:
Se vuoi capire lo schema generale dell'approccio GCT ma in alcuni dettagli matematici , suggerirei:
Il problema permanente contro determinante. # Completezza P del permanente e completezza GapL del determinante. Agrawal ha una buona indagine (solo leggermente superata) su questo, e le prove di completezza possono essere trovate nel libro di completezza e riduzioni della teoria della complessità algebrica di Burgisser .
Gruppi e azioni di gruppo (gruppi algebrici e azioni di gruppi algebrici sono utili, ma non necessari a questo livello). Dovresti comprendere il teorema dello stabilizzatore di orbite.
Geometria algebrica affine attraverso la Nullstellensatz di Hilbert. Fondamentalmente devi solo capire la corrispondenza tra le varietà algebriche affine e i loro anelli di coordinate.
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Se vuoi capire profondamente cosa sta succedendo (e non sono sicuro di poter ancora affermare di essere lì, ma penso di sapere cosa devo sapere per arrivarci), probabilmente dovresti anche capire:
La struttura dei gruppi algebrici riduttivi e le chiusure dell'orbita nelle loro rappresentazioni. Mi piace il libro di W. Ferrers Santos per questo, ma anche i gruppi algebrici lineari di Borel , I gruppi classici di Weyl e altri classici.
Il macchinario Luna-Vust (Teorema della fetta di Luna, complessità Luna-Vust)
Tannakian Duality (vedi l'articolo di Deligne - Milne ; questa sarà una lettura difficile senza un certo background nella teoria delle categorie e nei gruppi algebrici affini). Questo in sostanza dice che "i gruppi algebrici (pro) affini sono determinati dalle loro rappresentazioni". Non penso che tu abbia bisogno dell'intero documento, tanto quanto di come recuperare un gruppo dalla sua categoria di rappresentazioni (Cor. 3.4).
Più teoria della rappresentazione , specialmente applicata agli anelli di coordinate dei gruppi algebrici e alle loro chiusure orbitali. Mi piace molto il libro di Goodman e Wallach per questo, soprattutto perché è fondamentalmente autonomo e ha molto esattamente ciò di cui hai bisogno per capire GCT. (Inoltre, molte delle sezioni espositive / laterali e gli esercizi di Fulton e Harris sono proprio sul punto per GCT, in particolare quelli sui coefficienti di Littlewood-Richardson e Kronecker.)
Se vuoi effettivamente lavorare sulla teoria della rappresentazione , probabilmente vorrai capire più teoria combinatoria algebrica / teoria della rappresentazione combinatoria. Non conosco davvero tutti i riferimenti giusti per questo, ma sicuramente comprendere la regola di Littlewood-Richardson è un must, e il libro di Fulton Young Tableaux è utile per questo.
Gli articoli più recenti su questo lato delle cose che conosco sono Blasiak , Kumar e Bowman, De Visscher e Orellana .
A seconda della direzione in cui vuoi andare, potresti anche voler esaminare i gruppi quantistici, anche se questo non è necessariamente necessario (nota: questi non sono un caso speciale di gruppi, ma piuttosto una generalizzazione in una certa direzione).
Sul lato più geometrico delle cose , vorrai esaminare cose come la geometria differenziale per spazi tangenti e osculanti, curvatura, doppie varietà e simili, che sono alla base del limite inferiore più noto su perm vs. det a causa di Mignon --Ressayre e seguito da Landsberg - Manivel - Ressayre . ( Mignon - Ressayre può essere compreso senza nessuna di queste cose, ma puoi vedere il loro documento vagamente mentre studia la curvatura di alcune varietà; per una visione meno libera, vedi l'uso di doppie varietà in Landsberg - Manivel - Ressayre . ) (Vedi anche Cai, Chen e Li , che estende Mignon - Ressayre a tutte le strane caratteristiche.) Vedi anche Landsberg e Kadish .
Se sei interessato all'approccio GCT alla moltiplicazione delle matrici , è tutto incentrato sul grado tensore, sul confine e sulle varietà secanti. Suggerirei di guardare i giornali di Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg e Ottaviani , Landsberg , il sondaggio e il libro di Landsberg . Naturalmente, sarebbe anche utile conoscere le cose classiche sulla moltiplicazione di matrici (sia i limiti superiore che inferiore), ma questa è un'intera lattina separata di worm.