Analisi complesse in informatica teorica

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Esistono molte applicazioni di analisi reale nell'informatica teorica, che coprono i test di proprietà, la complessità della comunicazione, l'apprendimento PAC e molti altri campi di ricerca. Tuttavia, non riesco a pensare a nessun risultato in TCS che si basi su analisi complesse (al di fuori del calcolo quantistico, in cui i numeri complessi sono intrinseci nel modello). Qualcuno ha un esempio di un classico risultato TCS che utilizza analisi complesse?

soft-question big-picture

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Ottima domanda! Suggerirei che sarebbe meglio escludere i risultati relativi alla teoria dei numeri - ad esempio qualsiasi uso dell'ipotesi di Riemann - piuttosto che il calcolo quantistico, che tende a riguardare i sistemi a dimensione finita (per quanto ne so).

— Colin McQuillan,

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Usiamo un'analisi complessa in un documento "La costante di Grothendieck è strettamente più piccola del vincolo di Krivine", che (dal punto di vista del TCS) fornisce un algoritmo di approssimazione per il problema di massimizzare

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$ soggetto a

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$ . Vedi ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

— Yury

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@Yury potrebbe benissimo essere una risposta.

— Suresh Venkat,

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Algoritmo basato su complessi di Barvinok per l'approssimazione degli algoritmi temporali polinomiali permanenti per approssimare i permanenti e i discriminanti misti all'interno di un fattore semplicemente esponenziale .

Inoltre, ovviamente, operatori complessi (e alcune analisi complesse) sono importanti nel calcolo quantistico.

Consentitemi di raccomandare anche questo libro: Argomenti sull'analisi delle prestazioni di Eitan Bachmat con molte questioni rilevanti e altre cose importanti.

— Gil Kalai
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Questo è un ottimo esempio, non ero a conoscenza di questo risultato - grazie!

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Non è un singolo problema, ma l'intero campo della combinatoria analitica (vedi il libro di Flajolet e Sedgewick ) esplora come analizzare la complessità combinatoria delle strutture di ~~conteggio~~ (o persino i tempi di esecuzione dell'algoritmo) scrivendo un'appropriata funzione generatrice e analizzando la struttura delle soluzioni complesse.

— Suresh Venkat
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Ciao Suresh, cosa intendi per "analizzare la complessità"?

— Andy Drucker,

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Ah ho sbagliato a scrivere. Intendevo "analizzare la complessità combinatoria delle strutture" - risolverà.

— Suresh Venkat,

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Jon Kelner ha vinto il premio STOC Best Student Paper Award nel 2004 per il suo articolo "Partizionamento spettrale, limiti di autovalori e imballaggi circolari per grafici di genere limitato"

Citerò solo dall'abstract:

Come nostro principale lemma tecnico, dimostriamo un O (g / n) legato al secondo autovalore più piccolo del Laplaciano di tali grafici e dimostriamo che questo è stretto, risolvendo così una congettura di Spielman e Teng. Mentre questo lemma è essenzialmente di natura combinatoria, la sua dimostrazione proviene dalla matematica continua, attingendo alla teoria degli imballaggi circolari e alla geometria delle superfici compatte di Riemann.

L'uso di analisi complesse (e di altri calcoli "continui" matematici) per attaccare problemi di "tradizionale" separazione dei grafi è stato memorabile ed è la ragione principale per cui questo documento mi è rimasto in testa anche se non è completamente correlato alla mia ricerca.

— Mugizi Rwebangira
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Immagino che potresti essere più interessato all'analisi complessa utilizzata direttamente nella prova. Tuttavia, qui ci sono due esempi di una classe Algorithms di livello universitario a cui sto attualmente frequentando:

a) Trasformata di Fourier veloce, ad esempio utilizzata nella moltiplicazione polinomiale. Sebbene l'implementazione possa essere fatta con modulo aritmetico o in virgola mobile (e alcune analisi aritmetiche), la dimostrazione è meglio compresa in termini di numeri complessi e le loro radici di unità. Non ho approfondito l'argomento, ma sono consapevole che FFT ha una vasta gamma di applicazioni.

b) In generale, dotare il modello di RAM della capacità di gestire numeri complessi in tempo costante (le parti reali e immaginarie hanno ancora una precisione finita) consente di codificare abilmente i problemi e sfruttare le proprietà dei numeri complessi che potrebbero rivelare una soluzione (vedere anche i commenti perché questo non ti permetterà di essere più veloce).

— chazisop
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Hai un esempio della seconda osservazione? È banale aggiungere una classe "complesso O (log n) -bit intero" alla RAM standard con operazioni a tempo costante. O per "più veloce", vuoi dire "più veloce di un fattore 2"?

— Jeffε

Questo è stato un esercizio della lezione: "Supponiamo che tu abbia a che fare con una RAM estesa che può calcolare con numeri complessi al costo unitario per moltiplicazione, divisione, aggiunta e sottrazione. Inoltre, può anche calcolare il valore assoluto | c | di un numero complesso c in unità di tempo Inoltre "conosce" le costanti complesse 0, 1 e I. Mostra che dato un numero intero positivo n su una RAM così estesa il numero n! può essere calcolato in

tempo. La soluzione utilizza la moltiplicazione polinomiale, da quello che so questo è più veloce del modello RAM standard.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— Chazisop,

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L'algoritmo proposto richiede un'aritmetica reale a precisione infinita a tempo costante. (Non è possibile calcolare un numero intero a

-bit in

tempo usando una macchina con parole

-bit, perché non avresti nemmeno il tempo di scrivere l'output!) La domanda ti sta chiedendo di aggiungere radici quadrate al modello RAM reale, non numeri complessi di per sé.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

Grazie per il commento, è molto illuminante. Penso che dovrei aggiornare la mia risposta alla parte della semplice codifica intelligente di un problema con numeri complessi, cioè per vedere una soluzione che altrimenti ti mancherebbe.

— Chazisop,

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Forse questa applicazione è in qualche modo tra TCS e Disc matematica, ma sono rimasto leggermente sorpreso quando ho letto il documento "Sulle funzioni booleane piegate simmetriche" di Petr Savicky (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ carte / symmetric.ps). I teoremi riguardano solo le funzioni booleane, tuttavia una delle prove usa numeri complessi.

— Magnus Find
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Usiamo il teorema dei residui di Cauchy da analisi complesse come principale strumento tecnico nel nostro documento " Predicati della soglia lineare approssimativa ".

— MCH
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Il teorema di impacchettamento del cerchio di Koebe-Andreev-Thurston ha origine nel teorema di Riemann-mapping e presenta vari aspetti algoritmici. Ad esempio, fornisce una prova del teorema dell'imperatore Lipton-Tarjan per i grafici planari.

— Gil Kalai
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5

Fresco dal forno:

A Polynomial Time Algorithm for Lossy Population Recovery Di: Ankur Moitra, Michael Saks

Citando il documento: "Qui dimostreremo il principio di incertezza dichiarato nella sezione precedente usando strumenti di analisi complessa. Forse uno dei teoremi più utili per comprendere il tasso di crescita delle funzioni olomorfe nel piano complesso è il Teorema dei tre cerchi di Hadamard. .."

— Gil Kalai
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σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ indica la somma del valore abs dei coefficienti.

— Arnab,

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ . Effettuando una trasformazione coordinata, ci troviamo nell'impostazione del teorema dei Tre Cerchi: una funzione olomorfa è delimitata da punti in due cerchi concentrici, delimitando la funzione su qualsiasi cerchio di raggio intermedio.

— Arnab,

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

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$\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. Sull'esatta complessità spaziale dello sketch e dello streaming di piccole norme. SODA 2010.

Puoi cavartela scrivendo una prova che non menziona esplicitamente l'analisi complessa (vedi il primo punto nella sezione "note" per quel documento sulla mia pagina Web), ma anche quella prova ha un'analisi complessa in agguato sotto le copertine.

— Jelani Nelson
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In un recente articolo di Naor, Regev e Vidick vengono utilizzati numeri complessi e analisi, ottenendo risultati in algoritmi di approssimazione per problemi di ottimizzazione NP-hard: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Clemente C.
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Un altro documento che utilizza radici casuali di unità è Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald e He Sun. Conteggio dei sottografi arbitrari nei flussi di dati. ICALP 2012.

— Jelani Nelson,

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ di Laurent e Schrijver nel MAA Monthly). Lasciare la vera linea per il piano complesso sembra essenziale per la prova di Gurvits e semplifica molto le cose.

— Sasho Nikolov
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0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] Inaccessibilità e indecidibilità nei sistemi di calcolo, geometria e dinamici Asaki Saito, Kunihiko Kaneko

[2] Una teoria del calcolo e della complessità rispetto ai numeri reali Lenore Blum, 1990

— VZN
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0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
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