Cosa si sa della complessità di trovare circuiti minimi per SAT?

Cosa si sa della complessità di trovare circuiti minimi che calcolano SAT fino alla lunghezza ? $n$

Più formalmente: qual è la complessità di una funzione che, dato come input, genera un circuito C minimo tale che per qualsiasi formula φ con | φ | ≤ n , C ( φ ) = S A T ( φ ) ?$1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Sono particolarmente interessato ai limiti inferiori.)

L'algoritmo deterministico ingenuo (calcolare SAT con forza bruta fino alla lunghezza , quindi provare tutti i circuiti in ordine di dimensione fino a trovare uno che calcola correttamente SAT fino alla lunghezza n ) richiede ≤ 2 O ( n ) tempo per calcolare SAT, quindi un ulteriore tempo O ( 2 n 2 M ) per trovare un circuito minimo, dove M è la dimensione del circuito minimo. $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Esiste un algoritmo deterministico che trova circuiti minimi per SAT il cui tempo di esecuzione è , dove M è la dimensione del circuito minimo? O questo implica un certo collasso della complessità?$o(2^n 2^M)$$M$

Qui ci sono due cose che, sebbene legate alla mia domanda, sicuramente non sono quello che sto chiedendo (che è, penso, il motivo per cui ho trovato un po 'difficile la ricerca):

• Il circuito problema di minimizzazione: dato un circuito (o una funzione f in sua tabella di verità, o diverse altre varianti) trovare un circuito minima C ' calcolando la stessa funzione C . Anche se la minimizzazione dei circuiti fosse semplice, ciò non implicherebbe necessariamente che l'attività sopra descritta sia facile, poiché anche il calcolo della funzione che vogliamo minimizzare (SAT fino alla lunghezza n ) è ritenuto difficile, mentre nel problema della minimizzazione dei circuiti la funzione che abbiamo vuoi minimizzare è gratis (è dato come input).$C$$f$$C'$$C$$n$

• contro P / p o l y . La mia domanda non riguarda semplicemente ledimensionidel circuito minimo; si tratta della complessità di trovare un circuito minimo, indipendentemente dalle sue dimensioni. Ovviamente se possiamo calcolare i circuiti minimi in tempo polinomiale, allora N P ⊆ P / p o l y (e in effetti N P ⊆ P , da allora la famiglia di circuiti è P -uniforme), ma il contrario non deve essere vero. In effetti, credo cheImmerman e Mahaneyfurono i primi a costruire un oracolo in cui$NP$$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$ ma P ≠ N P - cioè N P ha circuiti di dimensioni polinomiali ma non possono essere trovati in tempo polinomiale.$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$$T(n)=2^{n^{o(1)}}$