Qual è la definizione corretta di

Come dice il titolo, qual è la definizione corretta di $k$ -tree? Ci sono diversi giornali che parlano di $k$ -Alberi e parziale $k$ -Alberi come definizioni alternative per grafici con treewidth limitato, e ho visto molte definizioni apparentemente non corretti. Ad esempio, almeno un posto definisce $k$ -trees come segue:

Un grafico è chiamato $k$ -tree se e solo se $G$ è il grafico completo con $k$ vertici, oppure $G$ ha un vertice $v$ con grado $k − 1$ tale che $G \setminus v$ è un $k$ -tree. Un $k$ -tree parziale è qualsiasi sottografo di un $k$ -tree.

Secondo questa definizione, è possibile creare il seguente grafico:

1. Inizia con un bordo $(v_1, v_2)$ , un albero a $2$ .
2. Per $i=1\ldots n$ , crea un vertice $v_i$ e rendilo adiacente a $v_{i-1}$ e $v_{i-2}$ .

In questo modo si creerebbe una striscia di $n$ quadrati con diagonali. Allo stesso modo, possiamo iniziare a creare una banda dal primo quadrato in una direzione ortogonale alla striscia sopra. Quindi, avremmo la prima riga e la prima colonna di una griglia $n \times n$ . Riempire la griglia è facile creando vertici e unendoli ai vertici al di sopra e alla sua sinistra.

Il risultato finale è un grafico che contiene una griglia che, in effetti, è noto per essere della larghezza dell'albero n .$n\times n$$n$

Una definizione corretta di -trees deve essere la seguente:$k$

Un grafico è chiamato -tree se e solo se G è un grafico completo con k vertici o G ha un vertice v con grado k - 1 tale che il vicino di v forma un k -clique e G v è un k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

Quindi, non è possibile creare il grafico a griglia descritto sopra.

Ho ragione?

Sono sostanzialmente d'accordo con te, con solo una piccola modifica:

Un grafico $G$ è un $k$ -tree se e solo se $G$ è un grafico completo con $k+1$ vertici o $G$ ha un vertice $v$ tale che il vicinato (aperto) di $v$ forma un $k$ -clique e $G - v$ è un $k$ -tree.

In altre parole, $v$ dovrebbe avere il grado $k$ , invece di $k-1$ nella tua definizione.

Personalmente preferisco la definizione dal basso, ma questa è solo una questione di gusti:

• Il grafico completo su $k+1$ vertici è un $k$ -tree.
• Un $k$ -tree $G$ con $n+1$ vertici ( $n\ge k+1$ ) può essere costruito da un $k$ -tree$H$ con$n$ vertici aggiungendo un vertice adiacente esattamente$k$ vertici che formano un$k$ -clique in$H$ .
• Nessun altro grafico è $k$ -trees.

Questa definizione è una versione leggermente modificata della definizione dalle note della lezione di Pinar Heggernes .