Algoritmi paralleli per la connettività st diretta

Chong, Han e Lam hanno dimostrato che la connettività st non indirizzata può essere risolta sulla PRAM EREW nel tempo con processori . Qual è l'algoritmo parallelo più noto per la connettività st diretta ? Indicare il tempo di esecuzione, l'algoritmo deterministico / randomizzato e il modello PRAM utilizzato (supponendo che il numero di processori sia polinomiale). Esistono algoritmi o paralleli noti per casi speciali di connettività st diretta? $O({\log}n)$ $O(m+n)$ $o({\log}^2{n})$

dc.parallel-comp

— Shiva Kintali
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Wikipedia afferma che i processori poli (n) + il tempo polilogo su una PRAM EREW sono gli stessi di NC. Non ho molta familiarità con il modello EREW PRAM, ma esiste una connessione tra

time (e polinomialmente molti processori) e

? In altre parole, c'è un modo per riformulare la tua domanda in termini di circuiti a profondità limitata?

(\log n)^{i}

$(\log n)^i$

N C^{i}

$NC^i$

— Robin Kothari,

i diversi modelli di RAM parallela equivalgono a fattori di registro, quindi mentre EREW PRAM corrisponde a NC, ciò potrebbe non essere vero per specifici poteri di registro.

— Suresh Venkat,

Con le opportune restrizioni sul set di istruzioni, il tempo O (log ^ in) su una PRAM CRCW è esattamente uniforme AC ^ i, per i> = 1.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Se esiste un percorso

diretto , è possibile trovarlo?

s - t

$s-t$

— Kumar,

Risposte:

La raggiungibilità diretta della st può essere fatta facilmente usando i processori O ( ) e il tempo O ) su un CRCW-PRAM, oppure in processori O ( ) e il tempo O ( ) su un EREW-PRAM dove è l'esponente della moltiplicazione della matrice e è il numero di vertici. Il seguente documento rivendica O ( ) e O ( $n^3$ $(\log n$ $n^\omega$ $\log^2 n$ $\omega<2.376$ $n$ $n^\omega$ $\log n$ ) tempo su una CREW-PRAM: "Algoritmi paralleli ottimali per la chiusura transitiva e la posizione dei punti nelle strutture planari" di Tamassia e Vitter. Altri articoli sostengono la stessa cosa e citano il sondaggio Karp e Ramachandran (algoritmi paralleli per macchine a memoria condivisa, in: J. van Leeuwen (a cura di), Manuale di Teorical Computer Science). Il sondaggio stesso menziona che la chiusura transitiva è in AC1 e quindi può essere risolta in tempo O (log n) su un CRCW-PRAM, ma manca la parte su CREW-PRAM.

Tutti gli algoritmi simil-Strassen per la moltiplicazione di matrici (incluso quello di Coppersmith-Winograd) sono essenzialmente algoritmi paralleli che girano nel tempo O ; la chiusura transitiva comporta un log aggiuntivo (ma se si consente il fan -bound illimitato nella banale matrice O ( ) mult può essere fatto a profondità costante e quindi la raggiungibilità è in tempo O su una CRCW-PRAM). È un problema aperto migliorare il numero di processori dall'attuale migliore ~ ; è anche un grosso problema aperto se la raggiungibilità è in NC1, poiché implicherebbe L = NL tra le altre cose. $(\log n)$ $n^3$ $(\log n)$ $n^{2.376}$

— virgi
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Potete per favore aggiungere i riferimenti.

— Shiva Kintali,

Conosco solo il tempo O (log n) su una PRAM CRCW. Era quello che intendevi?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

O (logn) su CREW è fantastico. Questo è quello che sto cercando. Vorrei accettare la tua risposta. Aggiungi il riferimento

— Shiva Kintali,

Abbiamo bisogno di iterazioni O (logn) di moltiplicazione di matrici per risolvere la connettività st.

— Shiva Kintali,

In termini di algoritmi paralleli hai bisogno di O (log n) iterazioni di matrice mult per risolvere la raggiungibilità; questo non è il caso degli algoritmi sequenziali in quanto puoi fare alcune cose ricorsive intelligenti (vedi Fisher & Meyer'71). Tuttavia, se il tuo modello di calcolo consente il fan-in illimitato (come con AC1 e quindi CRCW PRAM), la matrice mult può essere eseguita a profondità costante e quindi la chiusura transitiva può essere eseguita a profondità logaritmica.

— Virgi,

Il libro "An Introduction to Parallal Algorithms" di Joseph Jája (1992) elenca i seguenti risultati per la chiusura transitiva:

$O(\log n)$ $O(n^3 \log n)$
$O(\log^2 n)$ $O(n^\omega \log n)$

$O(\log n)$

$u$ $v$ $u$ per $v$ .

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Quindi, sembra che trovare un algoritmo parallelo o time (log ^ 2 {n}) su CREW PRAM per i grafici diretti generali sia un problema aperto.

— Shiva Kintali,

Nota che ho detto o (log ^ 2 {n}) non O (log ^ 2 {n}).

— Shiva Kintali,

Ti preoccupi di mantenere il lavoro piccolo, non solo polinomiale, c'è un elegante algoritmo di Ullman e Yannakakis che consente compromessi tempo / lavoro. La tabella 1 nel mio documento sull'elaborazione in parallelo di componenti fortemente connessi riassume i risultati della connettività diretta parallela di cui sono a conoscenza: http://www.cs.brown.edu/~ws/papers/scc.pdf .

— Warren Schudy
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