Individuazione di buchi strani nei grafici circolari di Paley

I grafici Paley P _q sono quelli il cui set di vertici è dato dal campo finito GF (q), per le potenze primi q≡1 (mod 4), e dove due vertici sono adiacenti se e solo se differiscono di un ² per alcuni a ∈ GF (q). Nel caso in cui q sia primo, il campo finito GF (q) è solo l'insieme di numeri interi modulo q.

In un recente articolo , Maistrelli e Penman mostrano che l'unico grafico Paley che è perfetto (con un numero cromatico uguale alla dimensione della sua cricca più grande) è quello su nove vertici. Ciò implica, in particolare, che nessuno dei grafici Paley P _q è perfetto per q prime.

Il teorema del grafico perfetto forte afferma che un grafico G è perfetto se e solo se sia G che il suo complemento sono privi di fori dispari (un sottografo indotto che è un ciclo di lunghezza dispari e dimensioni almeno 5). I grafici Paley di ordine primo sono auto-complementare e imperfetto; pertanto devono contenere fori dispari.

Domanda. Per q≡1 (mod 4) prime, esiste un algoritmo poli (q) per trovare un buco dispari in P _q ? Esiste un algoritmo polilogo (q)? Sono consentite casualità e congetture teoriche sui numeri.

Credo che esista un algoritmo poli (q) noto. La mia comprensione dell'algoritmo di Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour e Vušković, "Riconoscere i grafici di Berge", Combinatorica 2005 , è che trova un buco dispari o uno strano buco nella bocca in qualsiasi grafico non perfetto in tempo polinomiale. Gli autori scrivono a pagina 2 del loro documento che il problema di trovare buchi strani nei grafici che li hanno rimane aperto, perché i passaggi 1 e 3 del loro algoritmo trovano buchi ma il passaggio 2 potrebbe invece trovare un antihole. Tuttavia, nel caso dei grafici Paley, se trovi un antihole, moltiplica tutti i vertici in esso per un non residuo per trasformarlo in uno strano buco.

In alternativa, per analogia al grafico Rado, per ogni k dovrebbe esserci una N tale che i grafici Paley su N o più vertici dovrebbero avere la proprietà di estensione: per qualsiasi sottoinsieme di meno di k vertici e qualsiasi 2 colorazione del sottoinsieme, esiste un altro vertice adiacente a ogni vertice in una classe di colore e non adiacente a ogni vertice nell'altra classe di colore. Se è così, allora per k = 5 potresti costruire uno strano 5 fori avidamente in tempo polinomiale per passo. Forse questa direzione è auspicabile per un algoritmo poly (log (q))? Se funziona, almeno mostrerebbe che ci sono brevi fori strani, apparentemente un prerequisito necessario per trovarli rapidamente.

In realtà, non mi sorprenderebbe se il seguente fosse un algoritmo poli (log (q)): se q è più piccolo di una costante fissa, cerca la risposta, altrimenti costruisci avidamente un bizzarro 5 fori cercando in sequenza tra i numeri 0, 1, 2, 3, ... per vertici che possono essere aggiunti come parte di un parziale a 5 fori. Ma forse dimostrare che funziona nel tempo poli (log (q)) richiederebbe una teoria dei numeri profondi.

Dai risultati di Chung, Graham e Wilson, "Grafici quasi casuali", Combinatorica 1989, il seguente algoritmo randomizzato risolve il problema in un numero previsto di prove quando q è primo: se q è sufficientemente piccolo, cerca la risposta, altrimenti scegliere ripetutamente un insieme casuale di cinque vertici, verificare se formano un buco dispari e in tal caso restituirlo. Ma non dicono se funziona quando q non è un potere primo ma un potere primo, quindi forse dovresti stare più attento in quel caso.