Riferimento per teorema fondamentale sulle rotazioni degli alberi

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Si dice che due alberi di ricerca binari siano linearmente equivalenti quando concordano nei loro attraversamenti in ordine. Il seguente teorema spiega perché le rotazioni degli alberi sono così fondamentali:

Lascia che A e B siano alberi di ricerca binari. Quindi A e B sono linearmente equivalenti se e solo se sono collegati da una sequenza di rotazioni dell'albero.

Ho notato questo risultato quando ho appreso per la prima volta informazioni sulle strutture di dati molto tempo fa e volevo capire più a fondo lo stato speciale delle rotazioni degli alberi.

La dimostrazione è semplice e intuitiva: ruota il minimo elemento fino alla posizione della radice lungo il dorso sinistro. Per invariante dell'ordine, questo albero riorganizzato non può avere una sottostruttura sinistra. Ora ricorrere sulla sottostruttura giusta. Il risultato è una forma normale per testare l'equivalenza lineare.

Sebbene sia un teorema di base, non mi sono mai imbattuto in letteratura. Gradirei molto un riferimento per la prossima volta che dovrò usare questo risultato.

(Bonus rompicapo: qual è l'algoritmo migliore per trovare la sequenza più breve di rotazioni degli alberi che collegano due alberi di ricerca binari linearmente equivalenti?)

reference-request ds.data-structures

— Per Vognsen
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Un altro posto in cui cercare potrebbe essere un riferimento per stabilire se l'equivalenza modulo un operatore associativo è determinabile, in quanto equivale alla stessa cosa. Tuttavia, tutti i riferimenti di cui sono a conoscenza danno questo fatto per scontato.

— Rob Simmons,

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Come David Eppstein sottolinea qui , anche trovare il percorso più breve per gli alberi binari non è noto essere in P. Nei commenti a quella risposta si collega ai migliori limiti attuali

— Suresh Venkat
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Accetto questa risposta da quando ho imparato qualcosa da essa. Tuttavia, mi piacerebbe ancora trovare un riferimento per il teorema della struttura se qualcuno lo conosce.

— Per Vognsen,

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Un primo documento che ha reso esplicitamente questa osservazione - che le rotazioni preservano gli spostamenti interni - è (nella Figura 2 di) Sleator e gli alberi di ricerca binari autoregolanti del 1983 di Tarjan . L'euristica del passaggio alla radice è stata studiata nella carta degli alberi di ricerca binari auto-organizzanti di Allen e Munro del 1978 .

— Lev Reyzin
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La direzione interessante nell'equivalenza di Per non è che le rotazioni mantengano in ordine, ma che tu possa viaggiare tra due alberi che hanno lo stesso in ordine usando le rotazioni.

— Radu GRIGore,

Sì, ecco perché ho incluso il passaggio al root. C'è anche un altro articolo di Sleator, Tarjan e Thurston (Rotation Distance, Triangulation e Hyperbolic Geometry) che calcola le distanze tra due alberi qualsiasi, che non ho incluso nella mia risposta. Non penso che l'osservazione di Per appaia in nessun documento così com'è, ma mi piacerebbe essere smentito.

— Lev Reyzin

Bene, la direzione facile è una parte necessaria delle prove di correttezza per alberi AVL, 2-3 alberi, ecc. La direzione opposta è più profonda. Dice che non è necessaria alcuna trasformazione che preservi la struttura oltre alle rotazioni degli alberi per completezza.

— Per Vognsen,

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$O(1)$ tempo ovviamente, ma non è ovvio a priori che dovremmo essere in grado di decidere quale rotazione eseguire lungo il ciclo hamiltoniano in $O(1)$ tempo.) Naturalmente, potresti anche essere interessato ai riferimenti all'interno.

Joan M. Lucas, Il grafico di rotazione degli alberi binari è Hamiltoniano, Journal of Algorithms, Volume 8, Numero 4, Dicembre 1987, Pagine 503-535, ISSN 0196-6774, DOI: 10.1016 / 0196-6774 (87) 90048-4 .

Una prova più semplice, anche costruttiva, del fatto più semplice che esiste un percorso hamiltoniano nel grafico di rotazione può essere trovata in questo successivo documento scritto da Lucas e dai suoi collaboratori.

Lucas JM, Vanbaronaigien DR, Ruskey F., On Rotations and the Generation of Binary Trees, Journal of Algorithms, Volume 15, Issue 3, November 1993, Pages 343-366, ISSN 0196-6774, DOI: 10.1006 / jagm.1993.1045 .

— Maverick Woo
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Una prova più semplice, anche costruttiva, del fatto più semplice che un percorso hamiltoniano esce nel grafico di rotazione può essere trovato in quest'ultimo.

— 007singh
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La tua risposta sembra incompleta?

— Jeremy,