Durezza dei separatori di vertici

Per un dato grafico , il problema del separatore chiede se esiste un vertice o un insieme di bordi di piccola cardinalità (o peso) la cui rimozione separa in due grafici disgiunti di dimensioni approssimativamente uguali. Questo si chiama Problema del separatore di vertici quando il set rimosso è un set di vertici e il Problema del separatore di bordi quando è un set di bordi. Entrambi i problemi sono NP-completi per grafici non ponderati generali. Qual è la durezza più nota del separatore di vertici approssimativi? È escluso un PTAS? Quali sono i risultati di durezza più noti nell'impostazione diretta?$G$$G$

Correzione : i seguenti collegamenti e risposte non mi hanno aiutato perché non ho indicato correttamente la mia domanda. La mia domanda è collegata al seguente teorema di Leighton-Rao:

Teorema : esiste un algoritmo temporale polinomiale che, dato un grafico e un insieme , trova un separatore di vertici di in di dimensione , dove è la dimensione minima di un separatore -vertex di in .W ⊆ V $G(V,E)$$W \subseteq V$ S⊆VWGO(w.Logn)w$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$ W$\frac{1}{2}$$W$$G$

Dato un grafico e un set , voglio trovare un separatore -vertex (dove è una costante) di dimensioni , dove è la dimensione minima di un separatore -vertex di in . Qual è la durezza più nota di questo problema? Il teorema sopra riportato fornisce un'approssimazione per questo problema.W ⊆ V δ $G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$ww$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$ WGO(logn$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

Si noti che sto consentendo l'espansione del fattore costante nella dimensione dei componenti risultanti dopo aver rimosso il separatore, ma voglio ridurre al minimo la dimensione del separatore stesso. I collegamenti citati nei commenti indicano il minimo separatore b-vertice , in cui insistiamo sul fatto che la dimensione dei componenti risultanti sia al massimo .$|V|/2$

Nell'impostazione del bordo, il problema a cui ti riferisci è il problema della bisection, e la dimensione di tale bordo minimo è chiamata larghezza della bisection. C'è un sacco di ricerche su questo problema e l'approssimazione più nota per il problema è di Racke .$O(\log n)$

Una buona recensione del lavoro noto su questo problema (che si collega al taglio più scarso, diffondendo le metriche e persino alla congettura unica dei giochi) è in questo recente articolo sulle generalizzazioni della larghezza di taglio di Krauthgamer, Naor e Schwartz.

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$di Leighton e Rao; lo hanno fatto per il caso limite. Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev ha usato il risultato per ottenere un limite simile per il taglio più diretto diretto (se uno è interessato ai tagli bipartiti del vertice). Allo stesso tempo, Feige-Hajiaghayi-Lee ha ottenuto nuovamente un limite simile tramite ARV per i separatori di vertici (e ha anche sottolineato che la larghezza degli alberi può essere approssimata all'interno dello stesso fattore). Si noti che esiste un'altra nozione di taglio più raro nei grafici diretti per i quali Chuzhoy-Khanna ha mostrato risultati di durezza nel caso non uniforme, ma non sono sicuro del caso uniforme. Penso che i risultati di durezza super costante siano noti per il taglio (uniforme) più raro sotto UGC ma non ne sono sicuro.