Quando "X è NP-completo" implica "#X è # P-completo"?

Lascia che denoti un problema (decisionale) in NP e che # indichi la sua versione di conteggio. $X$ $X$

In quali condizioni è noto che "X è NP-completo" "#X è # P-completo"? $\implies$

Naturalmente l'esistenza di una riduzione parsimoniosa è una di queste condizioni, ma questa è ovvia e l'unica condizione di cui sono consapevole. L'obiettivo finale sarebbe quello di dimostrare che non è necessaria alcuna condizione.

In termini formali, si dovrebbe iniziare con il problema di conteggio # definito da una funzione e quindi definire il problema decisionale su una stringa di input come ? $X$ $f : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ $X$ $s$ $f(s) \ne 0$

cc.complexity-theory np-hardness counting-complexity

— Tyson Williams
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Stai cercando qualcosa di più di "X è NP-completo con riduzioni parsimoniose"?

— Joshua Grochow,

@usul: No. Se abbandoniamo il presupposto che X sia NP-completo, allora la corrispondenza bipartita è in P (quindi sicuramente non parsimoniosamente NP-completo assumendo

P \neq N P

$P \neq NP$ ) ma la sua versione di conteggio è # P-completa. Tuttavia, se vogliamo davvero X NP completo, quindi dalla parte superiore della mia testa non conosco un problema X tale che: 1) X è NP completo, 2) X non NP completo con riduzioni parsimoniose, e 3) #X è # P-completo. Ma non ci ho davvero pensato.

— Joshua Grochow,

Ma c'è un problema che nega questo? cioè X è NP-completo e #X non è # P-completo?

— Suresh Venkat,

@YoshioOkamoto: ciò dimostra che #X ∈ #P implica che X ∈ NP . È nella direzione sbagliata e manca il problema della completezza. Ciò che stiamo guardando essenzialmente è quali requisiti aggiuntivi sono necessari per l'esistenza di una riduzione molti-a-uno per problemi di decisione in NP (per problemi di decisione arbitrari o da un problema completo NP ) implica l'esistenza di un riduzione del conteggio efficiente per problemi in #P (per problemi di conteggio arbitrari o da un problema completo #P ).

— Niel de Beaudrap,

@ColinMcQuillan Potrebbe essere dichiarato al contrario. Inizia con un problema di conteggio e definisci un problema di decisione che richiede se l'output è diverso da zero.

— Tyson Williams,

Risposte:

L'articolo più recente su questa domanda sembra essere:

Noam Livne, Nota su # P-completezza delle relazioni di testimonianza di NP , Lettere per l'elaborazione di informazioni, Volume 109, Numero 5, 15 febbraio 2009, Pagine 259–261 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0020019008003141

che dà alcune condizioni sufficienti.

È interessante notare che l'introduzione afferma "Ad oggi, tutti i set completi di NP noti hanno una relazione di definizione che è #P completa", quindi la risposta al commento di Suresh è "nessun esempio noto".

— Colin McQuillan
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Fischer, Sophie, Lane Hemaspaandra e Leen Torenvliet. "Riduzioni isomorfe dei testimoni e ricerca locale." NOTE DI CONFERENZA IN MATEMATICA PURA E APPLICATA (1997): 207-224.

All'inizio della sezione 3.5, pongono la seguente domanda "In particolare, ci sono serie complete di NP che rispetto ad alcuni schemi di testimoni non sono #P-complete?"

E poi dimostrano nel Teorema 3.1 che "Se esiste un insieme L NP-completo che rispetto ad alcune relazioni di testimonianza R non è # P-completo, allora ". $_L$ ${\bf P}$ $\not =$ ${\bf P^{\bf \#P}}$

— Tayfun Pay
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