L'esistenza di un problema di ricerca

È facile vedere che se $\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P}$ allora ci sono problemi di ricerca totali $\mathsf{NP}$ che non possono essere risolti in tempo polinomiale (creare un problema di ricerca totale avendo sia i testimoni per l'appartenenza che i testimoni per non appartenenza).

È vero anche il contrario, cioè

L'esistenza di un problema di ricerca totale non risolvibile nel tempo polinomiale implica ? $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P}$

cc.complexity-theory reference-request search-problem

— Kaveh
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Intendi un problema di ricerca totale con un problema decisionale NP? La fattorizzazione a numeri interi è un problema?

— Mohammad Al-Turkistany,

Penso che significhi TFNP.

— domotorp,

Risposte:

Presumo che P, NP e coNP nella domanda siano classi di lingue, non classi di problemi promettenti. Uso la stessa convenzione in questa risposta. (Per ogni evenienza, se stai parlando di classi di problemi di promessa, la risposta è affermativa perché P = NP∩coNP come classi di problemi di promessa è equivalente a P = NP.)

Quindi la risposta è negativa in un mondo relativizzato.

La dichiarazione TFNP ⊆ FP è nota come Proposition Q in letteratura [FFNR03]. C'è un'affermazione più debole chiamata Proposition Q ' [FFNR03] secondo cui ogni relazione NPMV totale con risposte a un bit è in FP. (Qui una relazione con risposte a un bit significa un sottoinsieme di {0,1} ^* × {0,1}.) È facile intuire che la Proposizione Q relativa ad un oracolo implica la Proposizione Q 'relativa allo stesso oracolo.

Fortnow e Rogers [FR02] hanno considerato le relazioni tra l'affermazione P = NP∩coNP, la Proposition Q 'e alcune altre affermazioni correlate in mondi relativizzati. In particolare, il Teorema 3.2 (o Teorema 3.3) in [FR02] implica che esiste un oracolo rispetto al quale P = NP∩coNP ma la Proposizione Q 'non regge (e quindi anche la Proposizione Q non regge). Pertanto, in un mondo relativizzato, P = NP∩coNP non implica la Proposizione Q; o prendendo contropositivo, l'esistenza di una relazione TFNP che non può essere calcolata nel tempo polinomiale non implica P ≠ NP∩coNP.

Riferimenti

[FFNR03] Stephen A. Fenner, Lance Fortnow, Ashish V. Naik e John D. Rogers. Inversione in funzioni. Informazione e calcolo , 186 (1): 90–103, ottobre 2003. DOI: 10.1016 / S0890-5401 (03) 00119-6 .

[FR02] Lance Fortnow e John D. Rogers. Separabilità e funzioni unidirezionali. Complessità computazionale , 11 (3-4): 137-157, giugno 2002. DOI: 10.1007 / s00037-002-0173-4 .

— Tsuyoshi Ito
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Grazie Tsuyoshi. C'è anche un risultato nella seconda versione del problema che mostra che la risposta è decisamente negativa lì: Paul Beame, Stephen A. Cook, Jeff Edmonds, Russell Impagliazzo e Toniann Pitassi, " La complessità relativa dei problemi di ricerca NP ", 1998

— Kaveh,

A proposito, c'è qualche argomento noto per loro che non sono equivalenti nel mondo non relativizzato (basato su alcune congetture nella teoria della complessità o nella crittografia)? Sento che dovremmo essere in grado di dire qualcosa in base al seguente problema di ricerca di collisioni che è in TFNP ma sembra strano se fosse possibile ridurlo (anche con riduzioni randomizzate) a un problema di TFUP: dato un circuito

, trovare una collisione in

C : 2^{n + 1} \to 2^{n}

$C:2^{n+1}\to2^n$

C

$C$

— Kaveh,

@Kaveh: non sono sicuro di aver compreso la tua domanda nel commento. Nel mondo non relativizzato, l'unico modo per dire che "P = NP∩coNP" e "TFNP⊆FP" non sono equivalenti è mostrare che il primo vale e che il secondo non regge, a meno che non proviamo una certa indipendenza logica risultato. Ma la credenza popolare è che P ≠ NP∩coNP, che implica che "P = NP∩coNP" e "TFNP⊆FP" sono equivalenti (perché entrambi sono falsi). Pertanto, non so che tipo di congetture stai cercando.

— Tsuyoshi Ito

Non so se abbia senso, ma stavo pensando a qualcosa di simile al seguente: il problema di ricerca di trovare collisioni in un circuito con n + 1 ingressi e n uscite è in

, tuttavia se SPRNG esiste il suo corrispondente problema decisionale (estensione testimone) non è in

T F N P

$\mathsf{TFNP}$

P^{N P \cap c o N P}

$\mathsf{P^{NP\cap coNP}}$

— Kaveh,

@Kaveh: Stai parlando di disuguaglianza tra due proposizioni “P = NP∩coNP” e “TFNP⊆FP” o ineguaglianza tra qualcos'altro?

— Tsuyoshi Ito,

Per UP totale la risposta è sì, perché la domanda "È l'i bit della soluzione 1?" è in . $NP \cap co-NP$

— domotorp
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Quindi

ma non sappiamo se

T F U P \neq F P ⟹ N P \cap c o N P \neq P ⟹ T F N P \neq F P

$\mathsf{TFUP} \neq \mathsf{FP}\implies \mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P} \implies \mathsf{TFNP} \neq \mathsf{FP}$

T F N P \neq F P ⟹ T F U P \neq F P

$\mathsf{TFNP} \neq \mathsf{FP} \implies \mathsf{TFUP} \neq \mathsf{FP}$

— Kaveh,

Non posso dire che NON lo sappiamo, ma certamente non lo so. Naturalmente, se consentiamo riduzioni casuali, allora puoi fare il trucco Valiant-Vazirani e anche l'ultima implicazione diventa vera. (A meno che non mi sbagli ...)

— domotorp

F P

$\mathsf{FP}$

T F U P

$\mathsf{TFUP}$

T F N P

$\mathsf{TFNP}$

F P

$\mathsf{FP}$

Sì, perfettamente.

— domotorp,

Sembra che il Valiant-Vazirani non funzioni qui (o almeno non vedo come funziona). Il problema è che il risultato è un problema promettente, ad esempio da SAT a USAT. Abbiamo bisogno di un problema senza promesse. E sembrano esserci ragioni per credere che questi due non debbano essere uguali. Pubblicherò una nuova domanda su TFNP e TFUP.

— Kaveh,