Mondi relativi ai quali non esistono "generatori invulnerabili"

I generatori invulnerabili sono definiti come segue:

Sia una relazione NP e sia una macchina che accetta . Informalmente, un programma è un generatore invulnerabile se, sull'ingresso , produce coppie istanza-testimone , con , secondo una distribuzione in base alla quale qualsiasi avversario al tempo polinomiale a cui viene data non trova un testimone che , con notevole probabilità, per infinitamente lunghezze . $R$ $M$ $L(R)$ $1^n$ $(x, w) \in R$ $|x| = n$ $x$ $x \in S$ $n$

Generatori invulnerabili, definiti per la prima volta da Abadi et al. , ha trovato molte applicazioni nella crittografia.

L'esistenza dei generatori invulnerabili si basa sul presupposto che , ma ciò non è probabilmente sufficiente (vedere anche l' argomento correlato ). $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Teorema 3 di Abadi et al. la carta, citata sopra, mostra che qualsiasi prova dell'esistenza di generatori invulnerabili non relativizza:

Teorema 3. Esiste un oracolo tale che e generatori invulnerabili non esistono rispetto a B. $B$ $\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

Non capisco una parte della dimostrazione di questo teorema. Lasciamo indicare l' operazione di unione disgiunta . Sia il linguaggio completo di PSPACE di formule booleane quantificate soddisfacenti, e sia un insieme estremamente scarso di stringhe della massima complessità di Kolmogorov. In particolare, contiene una stringa di ciascuna lunghezza , dove la sequenza è definita da: , è triplicamente esponenziale in $\sqcup$ $QBF$ $K$ $K$ $n_i$ $n_1, n_2, \ldots$ $n_1 = 2$ $n_i$ , per; see, quindiha la complessità di Kolmogorov. $n_{i-1}$ $i > 1$ $x \in K$ $|x| = n$ $x$ $n$

Gli stati di carta che relativi a , vale che . Puoi spiegare? (Inoltre, chiarire se è ricorsivo.) $B = QBF \sqcup K$ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ $B$

— MS Dousti
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Se stessero semplicemente parlando della complessità di Kolmogorov (non limitata alle risorse), allora sarebbe incomprensibile (altrimenti potresti usare una macchina che calcola per fornire brevi descrizioni delle stringhe , poiché tutto ciò che devi fare è descrivere il macchina e la lunghezza di , e abbiamo eppure ), quindi anche sarebbe incontestabile. $K$ $K$ $x \in K$ $n$ $x$ $K(x) = n$ $K(n) \leq \log n$ $B$

Tuttavia, l'articolo Abadi et al. riferimento ( Hartmanis. Complessità generalizzata di Kolmogorov e struttura dei calcoli fattibili. FOCS 1983. ) utilizza una versione limitata di Kolmogorov. Sia una macchina di Turing universale efficiente. Definisci in modo che siano gli insiemi di stringhe tale che vi sia una stringa di lunghezza tale che $U$ $K_U[f(n), g(n)]$ $x$ $d$ $|d| \leq f(|x|)$ e il calcolo di richiede al massimo tempo. Nella parte superiore della seconda colonna a pag. 444 di tale carta, Hartmanis descrive come utilizzare questo concetto per costruire un (calcolabile) oracolo rispetto alla quale . $x = U(d)$ $U(d)$ $g(|x|)$ $P \neq NP$

$tow_3(1)=2$ $tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$ $C$ $C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ $C \in TIME[n^{\log n}] - P$ $tow_3(n)$ $K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$ $K$ $1^{tow_3(n)} \in C$ $C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$ $C \in NP^{K}$

$C \notin P^{K}$ $P^K \neq NP^K$ $C \in P^{K}$ $M$ $C = L(M^K)$ $C \in P$ $C$ $x = 1^{tow_3(n_0)}$

$K$ $|x|$ $\log \log \log |x|$ $U(d)$ $d$ $|x|$
$M(x)$ $M(x)$ $|x|$

$y \in K$ $M^K$ $y$ $y$ $y \in K[\log n, n^k]$ $n^k$ $M$ $y$ $K[\log n, n^{\log \log n}]$

— Joshua Grochow
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Molto dettagliato e ben scritto. Grazie Giosuè!

— MS Dousti,