Mondi relativi ai quali non esistono "generatori invulnerabili"


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I generatori invulnerabili sono definiti come segue:

Sia una relazione NP e M sia una macchina che accetta L ( R ) . Informalmente, un programma è un generatore invulnerabile se, sull'ingresso 1 n , produce coppie istanza-testimone ( x , w ) R , con | x | = n , secondo una distribuzione in base alla quale qualsiasi avversario al tempo polinomiale a cui viene data x non trova un testimone che x S , con notevole probabilità, per infinitamente lunghezze n .RML(R)1n(x,w)R|x|=nxxSn

Generatori invulnerabili, definiti per la prima volta da Abadi et al. , ha trovato molte applicazioni nella crittografia.

L'esistenza dei generatori invulnerabili si basa sul presupposto che , ma ciò non è probabilmente sufficiente (vedere anche l' argomento correlato ).PNP

Teorema 3 di Abadi et al. la carta, citata sopra, mostra che qualsiasi prova dell'esistenza di generatori invulnerabili non relativizza:

Teorema 3. Esiste un oracolo tale che P BN P B e generatori invulnerabili non esistono rispetto a B.BPBNPB

Non capisco una parte della dimostrazione di questo teorema. Lasciamo indicare l' operazione di unione disgiunta . Sia Q B F il linguaggio completo di PSPACE di formule booleane quantificate soddisfacenti, e sia K un insieme estremamente scarso di stringhe della massima complessità di Kolmogorov. In particolare, K contiene una stringa di ciascuna lunghezza n i , dove la sequenza n 1 , n 2 , è definita da: n 1 = 2 , n i è triplicamente esponenziale in nQBFKKnin1,n2,n1=2ni , peri>1; sexKe | x | =n, quindixha la complessità di Kolmogorovn.ni1i>1xK|x|=nxn

Gli stati di carta che relativi a , vale che PN P . Puoi spiegare? (Inoltre, chiarire se B è ricorsivo.)B=QBFKPNPB

Risposte:


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Se stessero semplicemente parlando della complessità di Kolmogorov (non limitata alle risorse), allora sarebbe incomprensibile (altrimenti potresti usare una macchina che calcola K per fornire brevi descrizioni delle stringhe x K , poiché tutto ciò che devi fare è descrivere il macchina e la lunghezza n di x , e abbiamo K ( x ) = n eppure K ( n ) log n ), quindi anche B sarebbe incontestabile.KKxKnxK(x)=nK(n)lognB

Tuttavia, l'articolo Abadi et al. riferimento ( Hartmanis. Complessità generalizzata di Kolmogorov e struttura dei calcoli fattibili. FOCS 1983. ) utilizza una versione limitata di Kolmogorov. Sia una macchina di Turing universale efficiente. Definisci K U [ f ( n ) , g ( n ) ] in modo che siano gli insiemi di stringhe x in modo tale che vi sia una stringa d di lunghezza | d | f ( | x | ) tale che x = U (UKU[f(n),g(n)]xd|d|f(|x|) e il calcolo di U ( d ) richiede al massimo g ( | x | ) tempo. Nella parte superiore della seconda colonna a pag. 444 di tale carta, Hartmanis descrive come utilizzare questo concetto per costruire un (calcolabile) oracolo rispetto alla quale P N P .x=U(d)U(d)g(|x|)PNP

tow3(1)=2tow3(n+1)=222nCC{1tow3(n):n1}CTIME[nlogn]Ptow3(n)K[logn,nlogn]K[logn,nloglogn]K1tow3(n)CC={1n:(x)[|x|=n and xK]}CNPK

CPKPKNPKCPKMC=L(MK)CPCx=1tow3(n0)

  1. K|x|logloglog|x|U(d)d|x|

  2. M(x)M(x)|x|

yKMK yyyK[logn,nk]nkMy K[logn,nloglogn]


Molto dettagliato e ben scritto. Grazie Giosuè!
MS Dousti,
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