Complessità del factoring in campi numerici

Cosa si sa della complessità computazionale degli interi di factoring nei campi numerici generali? Più specificamente:

1. Negli interi rappresentiamo numeri interi tramite le loro espansioni binarie. Qual è la rappresentazione analoga degli interi nei campi numerici generali?
2. È noto che la primalità sui campi numerici è in P o BPP?
3. Quali sono gli algoritmi più noti per il factoring su campi numerici? (Fai l' $\exp \sqrt n$ e (apparentemente)$\exp n^{1/3}$ algoritmi estendono dalla$\mathbb{Z}$?) Qui, factoring si riferisce a trovare qualche rappresentazione di un numero (rappresentato da$n$bit) come prodotto di numeri primi.
4. Qual è la complessità di trovare tutte le fattorizzazioni di un numero intero in un campo numerico? Di contare quante fattorizzazioni distinte ha?
5. Su $\mathbb{Z}$ è noto che decidere se un dato numero ha un fattore in un intervallo $[a,b]$ è NP-difficile. Oltre l'anello di numeri interi nei campi numerici, può essere il caso che trovare un fattore primo la cui norma si trova in un determinato intervallo sia già NP-difficile?
6. Il factoring è in campi numerici in BQP?

Osservazioni, motivazioni e aggiornamenti.

Ovviamente il fatto che la fattorizzazione non sia univoca rispetto ai campi numerici è cruciale qui. La domanda (in particolare la parte 5) è stata motivata da questo post sul blog su GLL (vedi questa osservazione ), e anche da questa precedente domanda TCSexchange. L'ho presentato anche sul mio blog in cui Lior Silverman ha presentato una risposta approfondita .

La seguente risposta è stata originariamente pubblicata come commento sul blog di Gil

(1) Sia un campo numerico, dove assumiamo che α abbia un polinomio minimo monico f ∈ Z [ x ] . Si possono quindi rappresentare elementi dell'anello di numeri interi O K come polinomi in α o in termini di una base integrale - i due sono equivalenti.$K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha$$f\in\mathbb{Z}[x]$$\mathcal{O}_K$$\alpha$

Ora il fissaggio come in (1) c'è una riduzione del tempo polinomiale dal problema sopra K al problema in Q . Per verificare che i calcoli (ad es. Intersecare un ideale con Z o fattorizzare una mod polinomiale p ) possano essere eseguiti in tempo polinomiale, consultare il libro di Cohen a cui si fa riferimento nella risposta precedente.$K$$K$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$$p$

Come precomputazione per ogni primo razionale divide il discriminante di α (cioè il discriminante di f ) trova tutti i numeri primi di O K che giacciono sopra p .$p$$\alpha$$f$$\mathcal{O}_K$$p$

(2) Per il test di primalità, dato un ideale lasciare che p ∈ Z sia tale che a ∩ Z = p Z (questo può essere calcolato in tempo polinomiale e il numero di bit di p è polinomiale nell'input). Controlla in tempo polinomiale se p è primo. Altrimenti a non è un numero primo. Se sì, trova i numeri primi di O K che giacciono sopra p o dal precomputazione o fattorizzando f mod p . In ogni caso, se a è primo, deve essere uno di quei numeri primi.$\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$p\in\mathbb{Z}$$\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$$p$$p$$\mathfrak{a}$$\mathcal{O}_K$$p$$f$$p$$\mathfrak{a}$

(3a), (6a) Per il factoring in numeri primi, dato un ideale trova la sua norma y = N K Q ( a ) = [ O K : a ] . Ancora una volta questo può essere trovato in tempi polinomiali e di conseguenza non è troppo grande. Fattore y in Z (in modo classico o usando l'algoritmo di Shor, a seconda della riduzione desiderata). Questo dà un elenco di numeri primi razionali che dividono y , e quindi come in 2 possiamo trovare l'elenco dei numeri primi di O K che divide y . Dal momento che un | $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$$y$$\mathbb{Z}$$y$$\mathcal{O}_K$$y$ questo fornisce l'elenco dei numeri primi che dividono a . Infine, è facile determinare l'esponente a cui un primo divide un ideale ideale.$\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$$\mathfrak{a}$

(3b), (6b) Ma Gil vuole la fattorizzazione in irriducibili, non in numeri primi. Risulta che data la fattorizzazione prima di è possibile costruire in modo efficiente una fattorizzazione di x in elementi irriducibili di O K . Per questo sia h K il numero della classe e si noti che è possibile calcolare in modo efficiente la classe ideale di un dato ideale. Ora per trovare un divisore irriducibile di x seleziona h K ideali primi (possibilmente con ripetizione) dalla fattorizzazione di $x\mathcal{O}_K$$x$$\mathcal{O}_K$$h_K$$x$$h_K$$x$. Secondo il principio del buco del piccione, un sottoinsieme di questi si moltiplica all'identità nel gruppo di classe; trova un tale sottoinsieme minimo. Il suo prodotto è quindi un ideale ideale generato da un elemento irriducibile. Dividi per questo elemento, rimuovi gli ideali pertinenti dalla fattorizzazione e ripeti. Se la fattorizzazione ha meno di h K elementi, basta prendere un sottoinsieme minimo di tutti i fattori.$x$$h_K$

(4) Penso che sia possibile contare le fattorizzazioni in irriducibili, ma questo è un po 'di combinatoria extra - per favore, dammi il tempo di elaborarlo. D'altro canto, determinarli tutti non è interessante nel contesto degli algoritmi di fattorizzazione sub-esponenziale poiché in generale ci sono molte fattorizzazioni esponenziali.

(5) Non ne ho idea.

Come accennato da Daniel, puoi trovare alcune informazioni nel libro A Course in Computational Algebraic Number Theory ( link ).

In particolare, ci sono diversi modi per rappresentare elementi di campi numerici. Sia essere un campo numero con φ un degree- n monico polinomio irriducibile di Z [ ξ ] . Sia θ qualsiasi radice di φ . La cosiddetta rappresentazione standard di un elemento α ∈ K è la tupla ( uno 0 , … , a n - 1 , d $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$n$$\mathbb Z[\xi]$$\theta$$\varphi$$\alpha\in K$$(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$dove , d > 0 e gcd ( a 0 , … , a n - 1 , d ) = 1 , tale che α = $a_i\in\mathbb Z$$d>0$$\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$