Strategia vincente di un gioco di eliminazione "bordo o vertice isolato"

Questo perfetto gioco di informazioni giocato su grafici è conosciuto / studiato?

Dato un grafico , due giocatori si alternano scegliendo uno spigolo o un nodo isolato. Se il giocatore sceglie un bordo i due nodi e vengono eliminati insieme ai loro bordi incidente. Se il giocatore sceglie un nodo isolato, il nodo viene eliminato. Il primo giocatore incapace di muoversi perde la partita. $G= (V,E)$ $e = (u,v)$ $u$ $v$

Qual è la complessità di trovare il vincitore?

Qualche riferimento a giochi simili?

reference-request combinatorial-game-theory

— Marzio De Biasi
fonte

Presumo che il nodo isolato venga rimosso se selezionato? In tal caso, il giocatore 0 vince anche su tutti i percorsi non vuoti spendendo la prima mossa suddividendo il problema in due componenti uguali e quindi rispecchiando i movimenti degli avversari sulla parte opposta da quel momento in poi per mantenere l'isomorfismo. Ciò implica che il giocatore 1 vince su un ciclo, poiché la prima mossa riduce il problema a un percorso.

— Yonatan N,

@YonatanN: sì, è possibile selezionare (e rimuovere) un nodo isolato; ma la strategia di simmetria funziona su percorsi di lunghezza pari (il giocatore 0 sceglie i 2 nodi centrali come prima mossa, quindi rispecchia le mosse del giocatore 1), ma non sui percorsi di lunghezza dispari: prova ad applicare la strategia a un percorso di lunghezza 11, e non funziona (in effetti per un percorso di lunghezza 11 il vincitore è il giocatore 1).

— Marzio De Biasi,

@Marzio De Biasi: mi dispiace ma quando gioco a giochi simpatici normalmente gioco a mano. A meno che non abbia commesso errori, il giocatore 0 ha una strategia vincente: osserva che: a) per P1, P2, P5 e P8, il giocatore 0 vince sempre. b) per P3 e P7, il giocatore 1 vince sempre. c) per P4 e P6, il giocatore 0 può decidere di vincere o perdere. Ora nel caso di P11: - Numera i nodi di P11 con v1, v2, ... v11. - Il giocatore 0 prende il bordo v9, v10 e il resto è il nodo isolato v11 e P8. Se il giocatore 1 prende la v11, il giocatore 0 vincerà perché ha un percorso pari. Altrimenti, il giocatore 0 vincerà per a), b) ec).

— user13136,

Secondo il mio programma , i valori di n≤100 tali che il primo giocatore perde nel gioco sul percorso con n vertici sono 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91 e 95. Sfortunatamente, non vedo alcun modello diverso dall'essere dispari (che era già noto) e OEIS non mostra alcuna corrispondenza.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: ... prendi la differenza a coppie: (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) e ottieni 4 4 4 4 4 4 ... sembra un modello :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) e ottieni 20 20 20 ... un altro! MrGreen

— Marzio De Biasi il

Pubblico un aggiornamento come risposta automatica solo per tenerlo distinto dalla domanda ( che è ancora aperta ).

Come mostrato nei commenti (grazie a Tsuyoshi Ito) il problema è risolvibile nel tempo polinomiale per i percorsi:

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

A partire da 0, la sequenza (calcolata) dei valori nim è periodica:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

Non ho lavorato su una rigorosa prova matematica, ma l'idea è:

supponiamo di voler calcolare l'elemento , quindi la prima mossa (scegli un bordo) può dividere il percorso in diversi modi (n-2,0), (n-3, 1), (n-4,2), ...). Il nuovo valore nim è uguale a: $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

I primi 34 elementi dell'insieme sono prodotti dalla prima sequenza non ripetitiva (0,1,1,0, ...) (nim) sommata con gli elementi della sequenza ripetitiva in ordine inverso a partire dall'elemento . $(34-2-x) \bmod 34$

Ad esempio: per : $x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Per x = 0..33 la sequenza mex risultante è uguale alla sequenza ripetuta:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Gli elementi rimanenti dell'insieme vengono calcolati solo sulle sequenze ripetute: (per le coppie vengono ripetute, quindi non alterano il risultato del Messico). La sequenza mex risultante per x = 0..33 è: $rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Che è uguale alla sequenza ripetuta ad eccezione di e ; ma i valori sono inferiori al corrispondente mess nella sequenza non ripetitiva, quindi: $x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ = $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

e per , $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— Marzio De Biasi
fonte

Secondo il mio calcolo, il primo giocatore ha una strategia vincente per , fornendo un controesempio alla tua richiesta iff .

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136: hai controllato i valori nim? Per il valore nim è 0 (ho ottenuto gli stessi valori di Tsuyoshi con un programma diverso, ma forse entrambi abbiamo torto).

P_{23}

$P_{23}$

— Marzio De Biasi,

Penso che un possibile difetto nei tuoi programmi potrebbe essere l'ignoranza del , nel qual caso il primo giocatore perde sempre. Se lo desideri, ora possiamo riprodurre il caso .

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136

Scusa, ora devo andare.

— user13136

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ (puoi eliminare i commenti precedenti contenenti le mosse)

— Marzio De Biasi,