Dovremmo considerare

Molti esperti ritengono che la congettura sia vera e la usano nei loro risultati. La mia preoccupazione è che la complessità dipenda fortemente dalla congettura P ≠ N $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Quindi la mia domanda è:

Finché la congettura non è provata, si può / si dovrebbe considerare una legge della natura, come indicato nella citazione di Strassen? O dovremmo trattarlo come una congettura matematica che forse un giorno avrebbe dimostrato o smentito?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Citazione:

"Le prove a favore delle ipotesi di Cook e Valiant sono così schiaccianti e le conseguenze del loro fallimento sono così grottesche, che il loro status può forse essere paragonato a quello delle leggi fisiche piuttosto che a quello delle normali congetture matematiche."

[La lode di Volker Strassen al vincitore del Premio Nevanlinna, Leslie G. Valian, nel 1986]

Faccio questa domanda quando leggo i risultati Post Physics in TCS? . È forse interessante notare che la complessità computazionale ha alcune somiglianze con la fisica (teorica): molti importanti risultati di complessità sono stati dimostrati assumendo , mentre in teoria i risultati fisici sono dimostrati assumendo alcune leggi fisiche$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ . In questo senso, può essere considerato qualcosa come E = m c 2 . Torna ai risultati di fisica in TCS? :$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$E = mc^2$

(Parte di) TCS potrebbe essere una branca delle scienze naturali?

Una precisazione:

(vedi la risposta di Suresh di seguito)

È legittimo affermare che la congettura di nella teoria della complessità è fondamentale come una legge fisica nella fisica teorica (come ha detto Strassen)?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

La dichiarazione di Strassen deve essere inserita nel contesto. Questo è stato un indirizzo per un pubblico di matematici nel 1986, un'epoca in cui molti matematici non avevano un'alta opinione dell'informatica teorica. La dichiarazione completa è

Per alcuni di voi può sembrare che le teorie discusse qui poggino su basi deboli. Loro non. Le prove a favore delle ipotesi di Cook e Valiant sono così travolgenti e le conseguenze del loro fallimento sono così grottesche, che il loro status può forse essere paragonato a quello delle leggi fisiche piuttosto che a quello delle normali congetture matematiche.

Sono sicuro che Strassen abbia avuto conversazioni con puri matematici che hanno detto qualcosa sulla falsariga di

"Stai basando tutta la teoria della complessità su un castello di carte. E se P = NP? Quindi tutti i tuoi teoremi saranno privi di significato. Perché non fai solo un piccolo sforzo e provi che P NP, piuttosto che continua a costruire una teoria su basi così deboli ".$\neq$

Nel 2013, quando P NP è stato un problema del premio Clay per una dozzina di anni, può sembrare difficile credere che qualsiasi matematico abbia effettivamente avuto tali atteggiamenti; tuttavia, posso garantire personalmente che alcuni lo hanno fatto.$\neq$

Strassen continua dicendo che non dovremmo rinunciare a cercare una prova di P NP (implicando quindi indirettamente che si tratta effettivamente di una congettura matematica):$\neq$

Tuttavia, una prova tradizionale sarebbe di grande interesse, e mi sembra che l'ipotesi di Valiant possa essere più facile da confermare di quella di Cook ...

quindi forse lo definirei come una "ipotesi di lavoro" piuttosto che una "legge fisica".

Consentitemi infine di notare che anche i matematici utilizzano tali ipotesi di lavoro. Esistono numerosi documenti di matematica che dimostrano teoremi le cui affermazioni recitano "Supponendo che l'ipotesi di Riemann sia vera, allora ...".

Vedo tre modi correlati per comprendere la domanda:

1) Possiamo considerare $NP \ne P$ come un principio fondamentale della teoria della complessità computazionale, ancor prima di poterlo provare?

2) Il principio estende oltre il suo stretto significato matematico?$NP \ne P$

3) Il principio può essere considerato come una legge fisica?$NP \ne P$

Penso che ci siano buoni motivi per rispondere a "sì" o "sì qualificato" per tutte e tre le domande.

Non sono sicuro di capire. Una legge fisica (del tipo che indichi) è un'espressione matematica di un modello (in questo esempio, la relatività) che pretende di catturare la realtà. Una legge fisica può essere smentita se la matematica sottostante non è corretta, ma può anche essere sbagliata se cambia il modello sottostante (ad esempio, la meccanica newtoniana). P vs NP è una congettura matematica specifica che è vera o falsa (e potrebbe essere dimostrabile o no)

Per rispondere alla tua domanda originale:

Sì, almeno Scott Aaronson ritiene che sia una legge della natura. Ha proposto la seguente formulazione$P \ne NP$

"Il presupposto della durezza NP ?: Non ci sono mezzi fisici per risolvere i problemi NP completi in tempo polinomiale".

Ha tenuto un bel discorso all'Università di Waterloo intitolato L'Intrattabilità Computazionale come Legge della Fisica

$NL\neq PSPACE$$NP\neq coNP$$P\neq NP$

$\phi$$\phi$

Puoi fare molti esperimenti su velocità e velocità e otterrai prove schiaccianti per convalidare le leggi di Newton. Naturalmente, vedrai alcune cose molto strane in esperimenti molto particolari, come la velocità della luce nell'acqua in movimento o alcuni eventi astronomici. Ma le tue prove schiaccianti ti diranno: Newton ha ragione e quelle leggi sono ciò di cui hai bisogno

Certo, Newton "non ha ragione", e Einstein lo seguì.

Per P = NP, possiamo vedere molti esempi in cui sembra P ≠ NP. Ma in alcuni casi particolari, abbiamo cose strane. Se P ≠ NP, ci sono un numero infinito di classi tra loro, quindi dovremmo trovare alcuni problemi in NP che non sono in P, ma non sono NP-completi. Non ne conosciamo nessuno e la maggior parte dei candidati ha dimostrato di essere in P.

Cosa ne pensi di questo problema dipende da dove vuoi guardare. Non sarei sorpreso se P = NP.