Verifica soluzioni uniche di SAT

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Considera il seguente problema: data una formula CNF e un incarico che soddisfa questa formula, esiste un altro incarico soddisfacente per questa formula?

Qual è la complessità di questo problema? (Sicuramente è in NP, ma è anche NP-difficile?)

Che cosa succede se non ti viene assegnato il compito e vuoi solo decidere se la formula ha un compito soddisfacente unico?

Grazie.

— J--
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Il tuo primo problema è spesso un esercizio di compiti a casa. Suggerimento: data qualsiasi formula F, progettare una formula F 'in cui l'assegnazione di tutti gli zero la soddisfa banalmente, e esiste un secondo incarico soddisfacente F' se F è soddisfacente.

— Ryan Williams,

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@ Hsien-Chih Chang, avevamo il nome di Oded in prima pagina prima del tuo riassestamento, la ricodifica non è urgente, sarebbe bello se il suo nome fosse rimasto un po 'più a lungo. :)

— Kaveh

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@Kaveh: Oops, scusa. Immagino che in qualche modo suppongo che rimarrà e fornirà costantemente sempre più buone risposte, quindi il suo nome apparirà frequentemente sulla pagina principale :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih Chang, lo spero anche io. :)

— Kaveh

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Il problema di decidere se una determinata formula CNF ha un compito soddisfacente diverso da una data è facilmente dimostrato di essere NP-completo trasformando una formula CNF per aggiungere una soluzione banale. Questo problema viene chiamato "Another Solution Problem (ASP) of SAT" in [YS03], dove viene utilizzato per fornire una prova sistematica del fatto che (le versioni decisionali) degli ASP di molti altri problemi sono NP-complete.

Il problema di decidere se una determinata formula CNF ha o meno un incarico soddisfacente unico (quindi devi rispondere "no" se la formula non ha incarichi soddisfacenti o più di un incarico soddisfacente) è completo negli Stati Uniti . Gli Stati Uniti contengono sia UP che coNP .

Riferimenti

[YS03] Takayuki Yato e Takahiro Seta. Complessità e completezza nel trovare un'altra soluzione e la sua applicazione ai puzzle. Transazioni IEICE sui fondamenti di elettronica, comunicazione e informatica, E86-A (5): 1052-1060, maggio 2003.

Modifica : una versione precedente (revisione 1) di questa risposta conteneva una confusione tra la versione della decisione e la versione di ricerca. È stato corretto.

— Tsuyoshi Ito
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Solo una nota: la completezza NP di "un altro problema di soluzione" è il folklore, noto molto prima del 2003. (Forse c'è un riferimento degli anni '70, ma la prova è così facile che ne dubito.)

— Ryan Williams

@Ryan: grazie per la nota. Ho modificato la risposta per rendere più chiara la relazione con [YS03].

— Tsuyoshi Ito,

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Ricordo Yoram Moses e io stessi studiando questo problema a metà degli anni '80 (alla luce di alcune applicazioni) e scoprendo che per molti problemi naturali di NPC il problema di trovare una seconda soluzione alternativa (o decidere se esiste) è NPC. Abbiamo quindi scoperto che questo era noto, ma non ricordo il riferimento e non sono riuscito a trovarne uno (vale a dire uno precedente alla metà degli anni '80) ora. Ma sono sicuro di ricordare correttamente quanto sopra.

Solo un commento verso Ryan. Il fatto che un teorema possa essere dato come un esercizio nelle classi attuali non lo rende meno attraente. Avrebbe dovuto essere pubblicato in un documento con un titolo adeguato nel momento in cui è stato scoperto ...

Oded Goldreich

— Oded Goldreich
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Ehi, benvenuto a bordo! Sono così entusiasta di vederti qui :)

— MS Dousti

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Qui, scrivo un estratto del seguente documento:

Valiant, LG e Vazirani, VV 1986. NP è facile come rilevare soluzioni uniche. Theor. Comput. Sci. 47, 1 (novembre 1986), 85-93. DOI = http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(86)90135-0

Per ogni problema noto NP-completo, il numero di soluzioni delle sue istanze varia in un ampio intervallo, da zero a esponenzialmente molti. È quindi naturale chiedersi se l'intrattabilità intrinseca del problema NP-completo sia causata da questa ampia variazione. Diamo una risposta negativa a questa domanda usando il concetto di riducibilità del tempo polinomiale randomizzato. Mostriamo che i problemi di distinguere tra istanze di SAT con zero o una soluzione, o di trovare soluzioni a istanze di SAT con una soluzione unica, sono difficili come SAT, con riduzioni randomizzate.

Suggerisco anche di guardare il documento pertinente:

Beigel, R., Buhrman, H. e Fortnow, L. 1998. NP potrebbe non essere facile come rilevare soluzioni uniche. In Atti del trentesimo simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica (Dallas, Texas, Stati Uniti, 24-26 maggio 1998). STOC '98. ACM, New York, NY, 203-208. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/276698.276737

— MS Dousti
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$DP=\{(L_1 ∩ L_2)| L_1 \in NP, L_2\in CoNP\}$

Andreas Blass e Yuri Gurevich, sull'unico problema di soddisfacibilità,

— Mohammad Al-Turkistany
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Un piccolo punto: il secondo problema non è un problema promettente.

— Tsuyoshi Ito,

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L'avevo capito e risolto, ma grazie per averlo individuato comunque!

— Tsuyoshi Ito,

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A proposito, non ho copiato nulla dalla tua risposta, quindi non ho idea di cosa si riferisca al tuo seguente commento: "Quando copi da un'altra risposta, ti preghiamo di indicarlo." Ho copiato il riferimento della mia risposta da un altro mio post su MathOverflow ( mathoverflow.net/questions/31251/… ), ma non credo che ti riferisca a questo.

— Tsuyoshi Ito,

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La soluzione a entrambi i problemi, UNIQUE SAT e ANOTHER SAT, con una classificazione completa della complessità, può essere trovata nel documento

L. Juban: teorema della dicotomia per il problema unico di soddisfazione generalizzata http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-48321-7_27

— Miki Hermann
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