Grafici in cui ogni separatore minimo è un insieme indipendente

Sfondo: Sia due vertici di un grafico non orientato G = ( V , E ) . Un insieme dei vertici S ⊆ V è un u , v -separator se u e v appartengono a diverse componenti connesse di G - S . Se nessun sottoinsieme proprio di un u , v -separator S è un u , v -separator, allora S è un u minimo , $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-separatore. Un set di vertici è un separatore (minimo) se esistono vertici u , v tale che S è un (minimo) u , v -separator.$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Un noto teorema di G. Dirac afferma che un grafico non ha cicli di lunghezza indotti di almeno quattro (chiamato grafico triangolato o cordale) se e solo se ognuno dei suoi separatori minimi è una cricca. È anche noto che i grafici triangolati possono essere riconosciuti in tempi polinomiali.

Le mie domande: quali sono i grafici in cui ogni separatore minimo è un insieme indipendente? Questi grafici sono studiati? E qual è la complessità del riconoscimento di questi grafici? Esempi di tali grafici includono alberi e cicli.

I tuoi grafici sono stati caratterizzati da questo documento http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Modifica: Nel documento sopra è dimostrato che i grafici in cui ogni separatore minimo è un insieme indipendente sono esattamente quelli che non contengono alcun ciclo con esattamente un accordo.

Grafici che non contengono alcun ciclo con esattamente un accordo sono stati studiati in profondità da Trotignon e Vuskovic, un teorema di struttura per grafici senza ciclo con un accordo unico e sue conseguenze , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . Come risultato di questo documento, questi grafici possono essere riconosciuti in tempi polinomiali. (Tuttavia, questo documento non ha indicato la connessione a separatori minimi indipendenti!)

Modifica (17 settembre 2013): Molto recentemente (vedi qui ), Terry Mckee descrive tutti i grafici in cui ogni separatore minimo di vertici è una cricca o un insieme indipendente. Si scopre che queste sono le "somme dei bordi" dei grafici e dei grafici cordali in cui ogni separatore minimo di vertici è un insieme indipendente.

Apparentemente la prima caratterizzazione dei grafici in cui ogni separatore minimo è un insieme indipendente è apparsa in TA McKee, "Grafici di separatori indipendenti", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217-224. Questi sono precisamente i grafici in cui nessun ciclo ha un accordo unico (o, equivalentemente, in cui, in ogni ciclo, ogni accordo ha un accordo incrociato).

Ci sono due nuovi articoli sui grafici senza ciclo con esattamente un accordo. Entrambi si occupano principalmente di colorare questi grafici: http://arxiv.org/abs/1309.2749 e http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$