Considera una rete elettrica modellata come un grafico planare G, in cui ogni fronte rappresenta una resistenza da 1Ω. In quanto tempo possiamo calcolare l' esatta resistenza effettiva tra due vertici in G? Equivalentemente, quanto velocemente possiamo calcolare la corrente esatta che scorre lungo ciascun bordo se colleghiamo una batteria da 1 V a due vertici in G?
Le note leggi sulla tensione e sulla corrente di Kirchhoff riducono questo problema alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari con una variabile per fronte. Risultati più recenti - descritti esplicitamente da Klein e Randić (1993) ma impliciti nel precedente lavoro di Doyle e Snell (1984) - riducono il problema alla soluzione di un sistema lineare con una variabile per vertice, che rappresenta il potenziale di quel nodo ; la matrice per questo sistema lineare è la matrice laplaciana del grafico.
Entrambi i sistemi lineare può essere risolto esattamente a tempo utilizzando dissezione nested e separatori planari [ Lipton Rose Tarjan 1979 ]. È questo l'algoritmo più veloce conosciuto?
I risultati seminali recenti di Spielman, Teng e altri implicano che il sistema Laplaciano in grafici arbitrari possa essere risolto approssimativamente in un tempo quasi lineare. Vedi [ Koutis Miller Peng 2010 ] per l'attuale miglior tempo di esecuzione, e questo fantastico articolo di Erica Klarreich alla Simons Foundation per una panoramica di alto livello. Ma sono particolarmente interessato agli algoritmi esatti per i grafici planari .
Assumi un modello di calcolo che supporti l'esatta aritmetica reale a tempo costante.