I coloranti dei vertici - in un certo senso - i coloranti dei bordi?

Sappiamo che coloranti di bordo di un grafo $G$ sono coloranti vertici di un grafo speciale, cioè del grafico lineare $L(G)$ di . $G$

Esiste un operatore grafico tale che le colorazioni dei vertici di un grafico sono colorazioni dei bordi del grafico ? Sono interessato a un tale operatore grafico che può essere costruito in tempo polinomiale, cioè il grafico può essere ottenuto da in tempo polinomiale. $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

Nota : domande simili possono essere poste per set e abbinamenti stabili. Una corrispondenza in è un insieme stabile in . Esiste un operatore grafico tale che le serie stabili in sono corrispondenze in ? Poiché STABLE SET è completo e appartiene a , un tale operatore grafico (se esiste) non può essere costruito in tempo polinomiale, supponendo . $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

EDIT: Ispirato dalla risposta di @ usul e dai commenti di @ Okamoto e @ King, ho trovato una forma più debole per il mio problema: i coloranti dei vertici di un grafico sono coloranti dei bordi di un ipergrafo definiti come segue. L'insieme dei vertici di è lo stesso vertice set di . Per ogni vertice di , il quartiere chiuso è un bordo dell'ipermetro . Quindi è il grafico a linee dell'ipergrafo e quindi le colorazioni dei vertici di sono colorazioni dei bordi di . $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

Ancora una volta, sono grato per tutte le risposte e i commenti che mostrano che, con o senza assumere , l'operatore che sto cercando non può esistere. Sarebbe bello se potessi accettare tutte le risposte! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
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Grazie a tutti per i gentili commenti (e pazienza!) E risposte utili. Ho bisogno di tempo per leggere, per pensare e forse per tornare con occhi nuovi.

— user13136,

Mi sono imbattuto nel seguente problema piuttosto interessante posto da Nishizeki e Zhou nel 1998, che è in qualche modo correlato alla tua domanda e al tuo secondo commento a @TsuyoshiIto: il problema della colorazione dei vertici può essere "semplicemente" ridotto al problema della colorazione dei bordi? (...) Poiché entrambi i problemi sono NP-completi, entrambi possono essere ridotti all'altro in modo plausibile tramite 3-SAT, a causa della teoria della completezza NP. Quindi il problema aperto chiede, ... (vedi qui )

— vb le

@vble: grazie! Ammetto che volevo "troppo". Un simile operatore risolverebbe il problema di Nishizeki e Zhou.

— user13136,

Risposte:

Per analogia con il grafico a linee , penso che tu stia chiedendo quanto segue:

Per ogni grafico non orientato , esiste un grafico non orientato tale che ciascun vertice corrisponde a un bordo e i bordi corrispondenti a e condividono almeno un endpoint se e solo se $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

La risposta può essere vista come no . Considera l'albero a quattro vertici con radice con tre figli . In , dobbiamo avere quattro bordi: . Inoltre, deve essere il caso che $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ o è un estremo di ciascuno degli altri tre lati (cioè, , ecc). Ciò significa che almeno due degli altri tre spigoli devono condividere un endpoint comune, il che viola i nostri requisiti poiché non esistono due adiacenti nel grafico originale. $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

Penso che lo stesso grafico ti fornirà un controesempio anche per la domanda corrispondente.

— usul
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Buon punto! In realtà ho avuto gli stessi pensieri. Ma forse c'è un altro modo per definire

? O come possiamo dimostrare formalmente che un tale operatore

non esiste?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136,

@utente13136, hmm, forse c'è un modo creativo per aggirarlo, ma dovresti riformulare la tua domanda (penso che il mio controesempio sia una prova formale per la domanda come espresso nel riquadro citato). Intuitivamente, penso che il problema sia che quando andiamo nella direzione del grafico a linee, prendiamo un bordo (che può essere collegato solo a due vertici) e lo trasformiamo in un vertice (che può essere collegato a qualsiasi numero di bordi) - facile . Il contrario è opposto e più difficile.

— usul

Aggiungendo semplicemente la risposta di Usul, la risposta breve è no, perché gli abbinamenti hanno proprietà strutturali non necessariamente presenti in insiemi stabili. Ad esempio, ogni grafico a linee è anche quasi-linea e privo di artigli; questo limita davvero la profondità dei colori dei bordi rispetto ai colori dei vertici.

— Andrew D. King,

La domanda contiene alcune ambiguità in ciò che si intende per "colorazioni dei vertici di un grafico G sono colorazioni dei bordi di un grafico H ", ma è NP-difficile costruire un grafico il cui numero cromatico del bordo è uguale al numero cromatico (vertice) di un dato grafico. Formalmente, il seguente problema di relazione è NP-difficile.

Rappresentando numero cromatico come bordo numero cromatico
Instance un grafo G .
Soluzione : Un grafico H tale che il margine numero cromatico χ '( H ) di H è uguale al numero χ cromatico ( G ) di G .

Questo perché il teorema di Vizing fornisce un algoritmo (banale) efficiente che approssima il numero cromatico del bordo all'interno di un errore additivo di 1, mentre il numero cromatico è difficile anche da apprendere in vari sensi. Ad esempio, Khanna, Linial e Safra [KLS00] hanno mostrato che il seguente problema è NP-completo (e in seguito Guruswami e Khanna [GK04] hanno fornito una prova molto più semplice):

3-colorabile versus non-4-colorabile
Instance un grafo G .
Sì, promessa : G è a 3 colori.
Nessuna promessa : G non è a 4 colori.

Questo risultato è sufficiente per dimostrare la durezza NP che ho affermato all'inizio. Una prova viene lasciata come esercizio, ma ecco un suggerimento:

Esercizio . Dimostrare che il problema di cui sopra "Rappresentare il numero cromatico come numero cromatico del bordo" è NP-difficile con la riducibilità funzionale del tempo polinomiale riducendo ad esso "3-colorabile contro non-4-colorabile". Ossia, costruisci due funzioni del tempo polinomiale f (che mappa un grafico a un grafico) e g (che mappa un grafico a un bit) in modo tale che

Se G è un grafico a 3 colori e H è un grafico tale che χ ( f ( G )) = χ '( H ), allora g ( H ) = 1.

Se G è un grafico non colorabile 4 e H è un grafico tale che χ ( f ( G )) = χ '( H ), allora g ( H ) = 0.

Riferimenti

[GK04] Venkatesan Guruswami e Sanjeev Khanna. Sulla durezza di 4 colori un grafico a 3 colori. SIAM Journal on Discrete Mathematics , 18 (1): 30–40, 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial e Shmuel Safra. Sulla durezza di approssimazione del numero cromatico. Combinatorica , 20 (3): 393–415, marzo 2000. DOI: 10.1007 / s004930070013 .

— Tsuyoshi Ito
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Grazie per la risposta! Sono un po 'impreciso formulando "i coloranti dei vertici di un grafico

sono coloranti dei bordi di un grafico

". Ciò che intendo è un operatore

come l'operatore grafico a linee

, ma dai coloranti dei vertici ai coloranti dei bordi. Questo è in qualche modo più di

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$

— user13136,

Since VERTEX COLOURING and EDGE COLOURING are both

N P

$\mathsf{NP}$ -complete, we can construct, by definition,

H

$H$ from

G

$G$ in polynomial time such that

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$ iff

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$ .But such a construction need not fulfill the property for an operator

Φ

$\Phi$ I am looking for. It only reduces vertex colourings to edge colourings.

— user13136

@ user13136: se un requisito più debole è impossibile da soddisfare, anche il requisito più forte è ovviamente impossibile. Questa è logica. Dovresti capire che il tuo esempio di grafico planare non è un controesempio a questo. Decidere la 3-colorabilità di un dato grafico planare non è un requisito più debole che decidere la 4-colorabilità di un dato grafico planare; sono solo requisiti diversi. D'altra parte, ho già dimostrato che ciò che vuoi è impossibile a meno che P = NP, punto. Ma se hai difficoltà a capirlo, non penso che ci sia qualcosa che posso fare per aiutarti a capire.

— Tsuyoshi Ito,

Se capisco correttamente la domanda, tale mappa

Φ

$\Phi$ non esiste. Non è necessario fare riferimento alla completezza NP. Basta considerare

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$ and suppose such

Φ (G)

$\Phi(G)$ exists. Since

G

$G$ is 2-colorable,

Φ (G)

$\Phi(G)$ should be 2-edge-colorable. This means the maximum degree of

Φ (G)

$\Phi(G)$ is at most two. Since

Φ (G)

$\Phi(G)$ has four edges, we can go through all candidates for

Φ (G)

$\Phi(G)$ (seven candidates up to isomorphism), and we will find that the family of edge colorings of

Φ (G)

$\Phi(G)$ and the family of vertex colorings of

G

$G$ are different. A contradiction.

— Yoshio Okamoto

@user13136: It occurred to me that you might have been confused because I wrote only a proof idea and I left out the actual proof. I revised the answer so that it would be clear that I left out the actual proof, and added some hints for proof. If this still does not work for you, then I will give up.

— Tsuyoshi Ito

(This is an addition to usul's answer and YoshioOkamoto's comment, rather than an answer.) It can be seen that your operation $\Phi$ exists only for those graphs $G$ for which there is a graph $G'$ with $G = L(G')$ , i.e. $G$ is a line graph (checkable in polytime). In this case, $\Phi$ is the "inverse line graph operator" $L^{-1}$ , i.e. $\Phi(G)=G'$ , and vertex colorings of $G$ are edge colorings of $\Phi(G)$ .

— In Theory
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