NP-Completezza del problema decisionale per il 15-puzzle generalizzato

Sono interessato alla generalizzazione naturale del famoso 15 puzzle , in cui devi far scorrere i blocchi fino a quando non hai ordinato tutti i numeri dati (di solito c'è uno spazio di 1 blocco).

Ora la generalizzazione sarebbe quella di estendere le dimensioni del puzzle da 15 a p × q , dove un campo è libero. Ho creato una piccola illustrazione (le frecce tratteggiate mostrano le mosse consentite e la configurazione inferiore mostra il puzzle risolto):$p \times q$

Data una configurazione iniziale di un puzzle, mi pongo la seguente domanda:

Decisione domanda : Dato un puzzle di dimensioni p × q , e un numero k ∈ N . Esiste una sequenza di k o meno mosse consentite che trasformano il puzzle nella configurazione risolta?$p \times q$$k \in \mathbb{N}$$k$

Ho già fatto qualche indagine e ho trovato l'articolo " Il ( n 2 - 1 ) -puzzle e relativi problemi di ricollocazione$(n^2−1)$ " del 1990, che mostra che decidere la mia domanda per p = q è NP-Complete e quindi che decidere la mia domanda è NP- Completo (poiché l'algoritmo generale potrebbe anche decidere la domanda per i campi simmetrici).$p=q$

La domanda che rimane aperta è se il problema decisionale è NP-Complete anche per q > 1 fisso . Sono particolarmente interessato ai casi speciali q = 2 , 3 . Rimane anche aperto se consentire più spazi liberi di un campo rende il problema decisionale più difficile o più facile.$q>1$$q=2,3$

Tutti gli articoli che ho trovato, purtroppo, omettono il caso asimmetrico, quindi penso che potrebbero non esserci risultati noti al riguardo. Poiché la prova nell'articolo è piuttosto complicata e non si traduce affatto in altezza fissa, spero piuttosto che qualcuno possa trovare una riduzione / articolo diverso che risponda ad alcune delle domande.

Altri articoli correlati (da estendere):

• http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf
• http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf
• http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/

Penso di aver trovato una risposta parziale (anche se piuttosto deludente) al mio problema:

Mi sono imbattuto in questo documento (2007):

" La complessità del routing di canali tridimensionali " di Satoshi Tayu e Shuichi Ueno

Mostrano (Teorema 4) che il "problema di instradamento dei canali 3d" con "2 reti" e dimensione p , q può essere risolto se e solo se il corrispondente (vedi l'articolo per maggiori dettagli) p × q - 1 puzzle può essere risolto.$p,q$$p \times q-1$

Sotto il Teorema 1 propongono alcuni problemi che chiamano "2.5-D CHANNEL ROUTING", che è fondamentalmente "routing a canali 3d" con profondità fissa k . Dicono anche "la complessità del seguente problema [2.5-D Channel Routing] è aperta per qualsiasi numero intero fisso k ≥ 2 ".$k$$k \geq 2$

Se sapessimo che la versione decisionale del puzzle p × q - 1 è NP-Complete per alcuni k fissi ≥ 2 , sapremmo anche che il routing del canale 2.5-D è difficile per quel k , quindi sembra che la domanda possa essere ridotta a qualche problema aperto.$p \times q-1$$k \geq 2$$k$

Ovviamente potrebbe essere che la risposta alla mia domanda sia che p × q - 1 puzzle è in P per tutti i k fissi , il che lascerebbe comunque aperta la loro domanda (poiché il routing generale non gestisce solo 2 -Nets). Pertanto questa non è una risposta completa, è anche piuttosto deludente che non includano riferimenti quando si afferma che il problema è ancora aperto.$p \times q-1$$k$$2$