Modifica la distanza con le operazioni di spostamento

Motivazione: un coautore pubblica un manoscritto e vorrei vedere un chiaro riassunto delle modifiche. Tutti gli strumenti simili a "diff" tendono ad essere inutili se si spostano entrambi i testi (ad esempio, riorganizzando la struttura) e si apportano modifiche locali. È davvero così difficile farlo bene?

Definizioni: vorrei trovare la distanza minima di modifica, dove le operazioni consentite sono:

operazioni "economiche": aggiungi / cambia / elimina un singolo personaggio (le solite operazioni di Levenshtein),
"costoso": operazioni: spostare una sottostringa in una nuova posizione ( $abcd \mapsto acbd$ per qualsiasi stringa $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ).

Date due stringhe $x$ e $y$ e interi $k$ e $K$ , desidero risolvere il seguente problema:

puoi trasformare $x$ in $y$ usando al massimo $k$ operazioni economiche e al massimo $K$ operazioni costose?

Domande:

Questo problema ha un nome? (Sembra una domanda molto standard nel contesto dell'allineamento della sequenza.)
È difficile?
Se è difficile, è trattabile a parametro fisso con come parametro? $K$
Esistono algoritmi di approssimazione efficienti? (Ad esempio, trovare una soluzione con al massimo basso costo e costose se esiste una soluzione con basso costo e costose.) $2k$ $2K$ $k$ $K$

Ho provato a dare un'occhiata alle metriche delle stringhe elencate in Wikipedia , ma nessuna sembrava corretta.

— Jukka Suomela
fonte

Per

, il problema è l'ordinamento per trasposizione. Vedi, ad esempio web.cs.dal.ca/~whidden/HThesis07.pdf Non ho riscontrato il tuo problema, ma sembra molto ben motivato.

k = 0

$k=0$

— Serge Gaspers,

La durezza NP del problema Ordinamento per trasposizione è stata dimostrata nel 2010, vedere L' ordinamento per trasposizione è difficile .

— Marzio De Biasi

Le trasposizioni sono difficili, ma non gli inserimenti e le eliminazioni. Se si consente a un'operazione costosa di essere la cancellazione di una sottostringa arbitraria o l'inserimento di una sottostringa dell'altra stringa, il problema dovrebbe diventare abbastanza semplice. Tuttavia, la distanza risultante non sarebbe simmetrica.

— Jouni Sirén,

Sono più curioso della tracciabilità dei parametri fissi. C'è qualche nuova scoperta?

— Yixin Cao,

Risposte:

Come commentato da Serge Gaspers, per il problema è l' ordinamento per trasposizione , ed è stato introdotto da Bafna e Pevzner nel 1995. La sua durezza NP è stata dimostrata solo nel 2010; vedere $k=0$ Laurent Bulteau, Guillaume Fertin e Irena Rusu, "Ordinare per trasposizione è difficile" .

— Marzio De Biasi
fonte

Il problema diventa più semplice se si considerano lunghe eliminazioni e copie di sottostringhe anziché trasposizioni. Supponiamo che stiamo usando l'algoritmo di programmazione dinamica standard per il calcolo della modifica della distanza e che un'operazione costosa di lunghezza aumenta la distanza di , per alcune costanti $k$ $ak+b$ $a,b \ge 0$ . Queste costanti possono essere diverse per le lunghe eliminazioni e la copia di sottostringhe.

Una lunga cancellazione è la cancellazione di una sottostringa arbitraria da . Supportarli è facile, se li suddividiamo in due tipi di semplici operazioni: eliminare il primo carattere (costo ) ed estendere la cancellazione di un carattere (costo ). Oltre alla matrice standard , dove è la distanza di modifica tra i prefissi e , utilizziamo un'altra matrice $x$ $a+b$ $a$ $A$ $A[i,j]$ $x[1 \dots i]$ $y[1 \dots j]$ $A_{d}$ per memorizzare la distanza di modifica, quando l'ultima operazione utilizzata è stata una lunga eliminazione. Con questo array, dobbiamo solo guardare , , e durante il calcolo e $A[i-1,j]$ $A[i-1,j-1]$ $A[i,j-1]$ $A_{d}[i-1,j]$ $A[i,j]$ , permettendoci di farlo in volta. $A_{d}[i,j]$ $O(1)$

Copia sottostringa significa l'inserimento di una sottostringa arbitraria di nella stringa modificata. Come per le lunghe eliminazioni, suddividiamo l'operazione in due semplici operazioni: l'inserimento del primo carattere e l'estensione dell'inserimento di un carattere. Usiamo anche serie per memorizzare la distanza di montaggio tra i prefissi, a condizione che l'ultima operazione è stata utilizzata sottoStringa copiare. $x$ $A_{s}$

Fare questo in modo efficiente è più complicato che con le lunghe eliminazioni, e non sono sicuro che si possa arrivare al tempo ammortizzato per cella. Costruiamo un albero di suffissi per , che richiede tempo , assumendo un alfabeto di dimensioni costanti. Memorizziamo un puntatore al nodo dell'albero del suffisso corrente in , permettendoci di verificare in tempo costante se possiamo estendere l'inserimento con il carattere . Se questo è vero, possiamo calcolare $O(1)$ $x$ $O(|x|)$ $A_{s}[i,j-1]$ $y[j]$ $A[i,j]$ e $A_{s}[i,j]$ in tempo costante.

Altrimenti , dove è la sottostringa inserita che è stata utilizzata per calcolare , non è una sottostringa di . Usiamo l'albero dei suffissi per trovare il suffisso più lungo di , per cui è una sottostringa di , nel tempo . Calcolare $zy[j]$ $z$ $A_{s}[i,j-1]$ $x$ $z'$ $z$ $z'y[j]$ $x$ $O(|z|-|z'|)$ , ora dobbiamo guardare le celle a . Trovare il suffisso richiede solo il tempo ammortizzatoper cella, ma calcolare con un approccio a forza bruta richiede $A_{s}[i,j]$ $A[i, j-|z'|-1]$ $A[i,j-1]$ $z'$ $O(1)$ $A_{s}[i,j]$ $O(|z'|)$ tempo. Probabilmente c'è un modo per farlo in modo più efficiente, ma non riesco a trovarlo in questo momento.

Nel peggiore dei casi, l'algoritmo richiede , ma dovrebbe essere possibile un'analisi migliore. La distanza di modifica risultante con lunghe eliminazioni e copia di sottostringhe non è simmetrica, ma ciò non dovrebbe costituire un problema. Dopotutto, di solito è più facile raggiungere la stringa vuota da una non vuota rispetto al contrario. $O(\min(|x| \cdot |y|^{2}, |x|^{2} \cdot |y|))$

— Jouni Sirén
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