Somma del sottoinsieme vs. prodotto del sottoinsieme (durezza NP forte o debole)

Speravo che qualcuno potesse spiegarmi perché esattamente il problema del prodotto del sottoinsieme è fortemente NP-difficile mentre il problema della somma del sottoinsieme è debolmente NP-difficile.

Sottoinsieme Somma: Dato $X = \{x_1,...,x_n\}$ e , fa esiste un sottoinsieme tale che . $T$ $X'$ $\sum_{i\in X'}x_i = T$

Sottoinsieme del prodotto: Data e , fa esiste un sottoinsieme tale che . $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\prod_{i\in X'}x_i = T$

Ho sempre pensato che i due problemi fossero equivalenti: un'istanza di SS poteva essere trasformata in un'istanza di SP tramite esponenziazione e un'istanza di SP in SS tramite logaritmi. Questo mi ha portato a concludere che entrambi appartenevano alla stessa classe di NP-hard - cioè erano entrambi debolmente NP-hard.

Inoltre, sembra che la stessa ricorrenza potrebbe essere usata per risolvere entrambi i problemi usando la programmazione dinamica con un cambiamento molto piccolo (sostituendo la sottrazione in SS con divisione in SP).

Questo fino a quando ho letto il capitolo 8 di "Teoria del calcolo" di Bernard Moret (per quelli senza il libro, ha una prova della durezza del prodotto del sottoinsieme via X3C - un problema fortemente NP-difficile).

Capisco la riduzione, ma non riesco a capire cosa non andava nella mia precedente conclusione (equivalenza dei due problemi).

AGGIORNAMENTO : Si scopre che il prodotto del sottoinsieme è solo debolmente NP-completo (il prodotto target è esponenziale in ). Gary e Johnson lo pubblicarono nella loro colonna di completezza NP nel 1981 , ma immagino che fosse meno visibile della loro precedente affermazione nel loro libro. $\Omega (n)$

— RDN
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Probabilmente sarebbe bello immaginare come implementeresti il tuo algoritmo di programmazione dinamica. Quindi, troverai ciò che non va.

— Yoshio Okamoto,

@ MohammadAl-Turkistany: è nella sezione finale di questa colonna

— RDN

Risposte:

Per quanto riguarda il problema dell'equivalenza della somma del sottoinsieme e del prodotto del sottoinsieme Esiste un aspetto tecnico relativo al prodotto del sottoinsieme. Il prodotto di x's = T è in realtà psuedopolinomiale se T non è esponenziale! Quindi le prove che il prodotto del sottoinsieme è NP Hard non sono (per motivi tecnici !!!) del tutto corrette!

Tuttavia, dato la promessa che T è grande, allora la riduzione tramite Logarithms alla somma dei sottoinsiemi dà una SOMMA DI SOTTOTETTI NON STANDARD che è al di sopra dei reali! Ciò significa che l'algoritmo psuedopolinomiale per la somma del sottoinsieme non si applica! Sebbene i logaritmi siano piccoli, le cifre decimali incasinano la programmazione dinamica psuedopolinomiale!

spero che questo possa essere d'aiuto

Zelah

— Zelah 02
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Si scopre che hai sempre avuto ragione sulle riduzioni errate (cioè, sostenendo che mostrano una forte completezza NP, quando non lo fanno). Grazie!

— RDN

In primo luogo, usare l'espiazione per passare dalle SS alle SP funziona (usando la base 2 anziché la base ), ma fa esplodere le dimensioni dei numeri coinvolti. Una debole durezza NP significa che se i numeri sono piccoli (o più precisamente, indicati in unario), il problema non è più difficile. Quindi, l'uso di esponenziazione crea istanze di SP di dimensioni esponenziali anche per le istanze facili di SS, in cui i numeri sono scritti in modo unario. $e$

In secondo luogo, l'utilizzo dei logaritmi per passare da SP a SS non funziona, poiché i logaritmi in genere generano valori non interi. SS e SP sono definiti usando numeri interi, e i logaritmi spesso portano a valori trascendentali, che sono difficili da rappresentare o fare matematica.

<edit>

Sia un numero intero, , quindi il è razionale se e solo se è una potenza di 2, e altrimenti trascendentale. Innanzitutto, se il $A$ $A > 0$ $\log_2 A$ $A$ per numeri interi diversi da zeroe, quindi $\log_2 A = \frac{p}{q}$ $p$ $q$ ,. Pertanto abbiamoper decomposizione primaria. Inoltre, quindi dato unpossiamo scegliereeper dimostrare che ilè razionale. $A = 2^{\frac{p}{q}}$ $A^q = 2^p$ $A = 2^r$ $A^{rq} = 2^p$ $A$ $q=1$ $p=r$ $\log_2 A$

Dobbiamo solo mostrare che il non è mai trascendentale altrimenti. Ciò deriva dal teorema di Gelfond-Schneider , poiché una formulazione equivalente (come si può trovare nella pagina Wiki) è "se e sono numeri algebrici non zero e prendiamo qualsiasi logaritmo diverso da zero di , quindi è razionale o trascendentale. " È anche facile da verificare prendendo il contrario del teorema e impostando e quindi $\log_2 A$ $\alpha$ $\gamma$ $\alpha$ $(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$ $\alpha^\beta = \gamma$ . $\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

Infine, considera cosa succede quando proviamo l'algoritmo di programmazione dinamica da SS su SP. Poiché utilizziamo i prodotti anziché le somme, i numeri coinvolti esplodono enormemente e la precisione matematica arbitraria richiesta diventa improvvisamente un fattore nel tempo di esecuzione. Questo è il motivo per cui l'algoritmo non è in grado di risolvere rapidamente le istanze SP anche se i numeri sono unari.

— Alex ten Brink
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questo porta ad un caso speciale piuttosto interessante. per quale classe di numeri i log sono espressi come razionali e non richiedono una precisione infinita? in questo caso i problemi sarebbero effettivamente quasi equivalenti e riducibili l'uno all'altro. sembra anche condurre verso un algoritmo di approssimazione "naturale".

— vzn

Grazie per la magnifica risposta! Ho solo un problema: capisco perché prendere i registri è illegale (tranne forse nel caso in cui i registri siano lunghi in poli - come sottolinea vzn), ma non sono ancora sicuro della legalità di andare da SS a SP tramite esponenziazione. Il WRT va da SS a SP come hai detto (tramite esponenziazione), non incontriamo il seguente problema: Il numero di bit nell'istanza di input di

e il numero di bit nel l'istanza di

. Questa è una esplosione esponenziale. Quindi è ancora legale? Se lo è, perché?

I_{S S}

$I_{SS}$

O (n \log x)

$O(n\log x)$

I_{S P}

$I_{SP}$

O (n x)

$O(nx)$

— RDN

@vzn, RDN: ho modificato in una caratterizzazione quando il logaritmo è trascendentale. Per quanto riguarda l'esplosione della riduzione, dipende dalla tua definizione di "legale": la riduzione è corretta , tuttavia la sua efficienza non è polinomiale e quindi non dice nulla sulla durezza NP. Non è quindi una riduzione del poli-tempo corretta , ma è una riduzione corretta (senza qualificatori).

— Alex ten Brink,

inoltre c'è un caso speciale in cui tutti i numeri sono nella forma

, ciascuno

razionale, per qualsiasi

, non solo

. l'algoritmo di approssimazione a cui stavo pensando potrebbe trovare una

tale che la conversione dei valori in quella "base" sia "vicina" agli originali.

c^{n_{i}}

$c^{n_i}$

n_{i}

$n_i$

c

$c$

c = 2

$c=2$

c

$c$

— vzn,

La spiegazione letterale è che il problema del prodotto secondario è NP completo da una riduzione da un problema fortemente completo NP come la copertura esatta di 3 serie. In tale riduzione "forte", gli interi di input sono limitati da alcune funzioni polinomiali nel numero di interi nell'istanza risultante del problema del prodotto del sottoinsieme.

Tale riduzione "forte" è impossibile da qualunque problema fortemente NP-completo sottoinsieme Sum Problemi salvo . Abbiamo un algoritmo di programmazione dinamica a tempo polinomiale per risolvere il problema Somma sottoinsieme se gli interi di input sono limitati da un polinomio. $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
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Sì, lo capisco. La mia domanda riguardava il motivo per cui la conclusione che avevo fatto in precedenza era errata (vale a dire, equivalenza di SS e SP).

— RDN

@rdn Non ci sono equivalenti in questo senso a meno che P = NP.

— Mohammad Al-Turkistany,

Sì, ho capito. Ma voglio sapere cosa c'era che non andava nelle mie riduzioni in entrambe le direzioni.

— RDN

Puoi delineare le tue riduzioni?

— Mohammad Al-Turkistany,

I (S S) = ⟨ X, S ⟩

$I(SS)=\langle X, S \rangle$

I (S P) = ⟨ Y, P ⟩

$I(SP)=\langle Y, P \rangle$

I (S S)

$I(SS)$

I (S P)

$I(SP)$

P = e^{S}

$P = e^S$

Y_{i} = e^{X_{i}}

$Y_i = e^{X_i}$

S

$S$

P = e^{S}

$P = e^S$

I (S P)

$I(SP)$

I (S S)

$I(SS)$

S = l o g (P)

$S = log(P)$

X_{i} = \log (Y_{i})

$X_i = \log(Y_i)$

P

$P$

S = \log (P)

$S = \log(P)$