Gap-3SAT NP è completo anche per le formule 3CNF in cui nessuna coppia di variabili appare in clausole significativamente più della media?

In questa domanda, una formula 3CNF indica una formula CNF in cui ogni clausola coinvolge esattamente tre variabili distinte . Per una costante 0 < s <1, Gap-3SAT _s è il seguente problema promettente:

Gap-3SAT _s
grado : Un 3CNF formula φ.
Sì, promessa : φ è soddisfacente.
No-promessa : No incarichi verità soddisfano più di s frazione delle clausole di φ.

Uno dei modi equivalenti per affermare il teorema famoso PCP [AS98, ALMSS98] è che esiste una costante 0 < s <1 tale che Gap-3SAT _s è NP-completo.

Diciamo che una formula 3CNF è limitata a coppie B se ogni coppia di variabili distinte appare nella maggior parte delle clausole B. Ad esempio, una formula 3CNF ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) è a coppie 2-limitate ma non a coppie 1 limitato perché ad es. la coppia ( x ₁ , x ₄ ) appare in più di una clausola.

Domanda . Fare esistono costanti B ∈ℕ, un > 0 e 0 < s <1 tale che Gap-3SAT _s è NP-completo anche per una formula 3CNF che è appaiata B -bounded e costituito da almeno un ² clausole, dove n è il numero di variabili?

Il limite di coppia implica chiaramente che ci sono solo clausole O ( n ² ). Insieme al limite inferiore quadratico sul numero di clausole, dice approssimativamente che nessuna coppia di variabili distinte appare in clausole significativamente più della media.

Per Gap-3SAT, è noto che il caso sparse è difficile : esiste una costante 0 < s <1 tale che Gap-3SAT _s è NP-completo anche per una formula 3CNF dove ogni variabile avviene esattamente cinque volte [Fei98]. D'altra parte, il caso densa è facile : Max-3SAT ammette un PTAS una formula 3CNF con Ω ( n ³ ) clausole distinte [AKK99], e quindi Gap-3SAT _s in questo caso è in P per ogni costante 0 < s <1. La domanda si pone al centro di questi due casi.

La domanda di cui sopra è nata originariamente in uno studio sulla complessità computazionale quantistica, in particolare sui sistemi di prova interattivi one-round a due prover con sistemi di prove aggrovigliati ( MIP ^* (2,1) ). Ma penso che la domanda possa essere interessante a sé stante.

Riferimenti

[AKK99] Sanjeev Arora, David Karger e Marek Karpinski. Schemi di approssimazione temporale polinomiale per istanza densa di problemi NP-difficili. Journal of Computer and System Sciences , 58 (1): 193–210, febbraio 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan e Mario Szegedy. Verifica della prova e durezza dei problemi di approssimazione. Journal of the ACM , 45 (3): 501–555, maggio 1998. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev Arora e Shmuel Safra. Verifica probabilistica delle prove: una nuova caratterizzazione di NP. Journal of the ACM , 45 (1): 70–122, gennaio 1998. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige. Una soglia di ln n per la copertura approssimativa del set. Journal of the ACM , 45 (4): 634–652, luglio 1998. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— Tsuyoshi Ito
fonte

@Tsuyoshi: ho ragione nel presumere che non si sappia nulla degli altri casi intermedi, tra

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— András Salamon,

@ András: Non sono a conoscenza di alcun risultato precedente su casi intermedi, ma ho quello che penso sia una prova della completezza NP dei seguenti casi. (1) Clausole limitate a coppie,

, ma senza gap. (2) Con uno spazio, clausole

per qualsiasi costante d <3, ma non necessariamente delimitato a coppie. (3) Con uno spazio, limitato a coppie, clausole

per qualsiasi costante d <2. La prova di (1) è una semplice riduzione da [Fei98]. La prova di (2) utilizza parte del risultato di Ailon e Alon 2007 . La prova di (3) utilizza espansori.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: non vedo l'ora di leggere il tuo articolo.

— András Salamon,

Non avere una risposta ma vorrei verificare se i metodi per certificare che una 3CNF casuale di clausole m è insoddisfacibile può avere successo qui nel mostrare questo problema è facile, almeno se avete richiesto la solidità

per essere vicino a 7/8. Questi lavori hanno successo una volta che ci sono più di

clausole e sono stati estesi ai modelli semi-casuali (vedi Feige FOCS 07 sulla confutazione del 3CNF levigato). Tuttavia, sembra che Tsuyoshi abbia dimostrato che anche il caso di

qui è ancora NP-difficile, quindi forse questo dimostra che questi lavori non sono rilevanti.

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— Boaz Barak,

Boaz, puoi sempre "densificare" un'istanza di 3SAT sostituendo ogni variabile con

copie, e quindi sostituendo ogni clausola con clausole

, sostituendo ogni variabile nella clausola originale con copie in tutti i modi possibili. Questo ti dà un'istanza in cui la stessa frazione di clausole di prima è soddisfacente, ma passi da n variabili e m clausole a nM variabili e

clausole, quindi, senza ulteriori vincoli sul numero di occorrenze, puoi mantenere la solidità

anche nelle formule con

variabili e

clausole.

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— Luca Trevisan,

Non una risposta completa, ma si spera che si chiuda. Questo è molto vicino ai commenti di Luca sopra. Credo che la risposta è che almeno ci fanno costanti esistono B ∈ℕ, un > 0 e 0 < s <1 tale che Gap-3SAT _s è NP-completo anche per una formula 3CNF che è appaiata B -bounded e consiste almeno clausole, per qualsiasi costante . $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

La prova è la seguente. Si consideri un GAP-3SAT esempio su variabili in cui ciascun appare la variabile al massimo 5 volte. Questo è NP-completo, come dici nella domanda. $_s$ $\phi$ $N$

Ora creiamo una nuova istanza come segue: $\Phi$

Per ogni variabile in , ha variabili . $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
Per ogni serie di indici , e con , ha una coppia di clausole , e . Mi riferisco a questi come clausole di confronto in quanto garantiscono che se sono soddisfatti. $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
Per ogni clausola agendo su variabili , e , indipendentemente dai e , contiene una clausola equivalente, dove è sostituito da , è sostituito da ed è sostituito da (qui l'aggiunta è fatta modulo ). Mi riferirò a queste come clausole ereditate. $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

Il numero totale di variabili è allora . Nota ha clausole di confronto e $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ clausole ereditate, per un totale di $\frac{5}{3}Nn^2$ clausole. Prendendoabbiamoe il numero totale di clausole $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ . Prendiamo, quindi. $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

Successivamente, è associato 8 a coppie (massimo 2 dalle clausole di confronto e 6 dalle clausole ereditate). $\Phi$

Infine, se non è soddisfacente, almeno le clausole non sono soddisfatte. Ora, se per qualsiasi allora almeno clausole non sono soddisfatte. Si noti che al fine di soddisfare la clausole insoddisfatti in un insieme di clausole ereditate per fissare , allora il compito di variabili , $\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ e devono differire di almeno $y_{:b}$ $y_{:(a+b)}$ posizioni, lasciando almeno $\frac{1-s}{5}N$ confronto clausole insoddisfacenti. Questa stretta must per ogni scelta die, così almeno $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ $a$ $b$ clausole di confrontodevono rimanere insoddisfatte in totale affinché siano soddisfatte abbastanza clausole ereditate. Se tuttavia guardi l'altro estremo in cui sono soddisfatte tutte le clausole di confronto, allora $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ clausolenon sono soddisfacenti. Quindi un gap rimane (sebbene ridotto) con $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ . $s' = \frac{4+s}{5}$

Probabilmente è necessario ricontrollare le costanti.

— Joe Fitzsimons
fonte

Grazie Joe. Scusate se questo non era chiaro, ma in questa domanda, ho bisogno che le tre variabili in ciascuna clausola siano tutte distinte, e quindi le clausole di confronto così come sono scritte non possono essere usate. Ho una prova dello stesso fatto (clausole limitate a coppie, Ω (n ^ (2 − ε)), con gap) che utilizza grafici di expander, ma se può essere provato senza usare expander, sono molto interessato.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: Ah, capisco. In realtà, inizialmente l'avevo dimostrato a me stesso con variabili distinte, quindi c'è un semplice tweek per ottenerlo nella forma desiderata. Assegnate semplicemente le clausole di confronto in un modo leggermente diverso. Invece delle due clausole che ti ho dato hai bisogno di 4:

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

. Chiaramente questi si riducono alle stesse 2 clausole variabili di prima. Ovviamente questo tweek le costanti, ma non fa alcuna altra differenza.

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

— Joe Fitzsimons,

ϵ

$\epsilon$

k = k (n)

$k = k(n)$

Controllerò i dettagli più attentamente in seguito, ma l'idea di usare a, b e (a + b) sembra funzionare. Ciò dovrebbe liberarmi dal trattare esplicitamente con gli espansori. Grazie!

— Tsuyoshi Ito,

Nessun problema. Sono contento di essere di aiuto.

— Joe Fitzsimons,