Aumentare la capacità di massimizzare il taglio minimo

Considera un grafico con tutti i bordi con capacità unitaria. Si può trovare il taglio minimo in tempo polinomiale.

Supponiamo che mi sia permesso di aumentare la capacità di qualsiasi bordo all'infinito (equivalente a unire i nodi su entrambi i lati del bordo). Qual è il modo ottimale di selezionare un set ottimale di k spigoli (la cui capacità verrà aumentata all'infinito) per massimizzare il taglio minimo?$k$$k$

Teorema. Il problema nel post è NP-difficile.

Per "il problema nel post", intendo, dato un grafico e un intero k , scegliere k bordi per aumentare le capacità in modo da massimizzare il taglio minimo nel grafico modificato.$G=(V,E)$$k$$k$

L'idea è di ridurre da Max Cut. All'incirca, un dato grafico ha dimensioni massime di taglio s se e solo se è possibile aumentare le capacità di n - 2 spigoli in modo che il grafico risultante abbia dimensioni minime di taglio s . L'idea è che n - 2 bordi sono appena sufficienti per forzare il grafico risultante ad avere un solo taglio a capacità finita, e che può essere qualsiasi taglio tu scelga.$G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

Questa idea non funziona del tutto perché per ottenere un determinato taglio , è necessario collegare i sottografi indotti da C e V ∖ C ciascuno. Ma puoi aggirare questo problema con un gadget appropriato.$(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Prova. Dato un grafico collegato , definire un taglio collegato come un taglio ( C , V ∖ C ) in modo tale che i sottografi indotti da C e da V ∖ C siano collegati ciascuno. Definire Max Connected Cut come problema nel trovare un taglio connesso (in un dato grafico collegato) massimizzando il numero di spigoli che attraversano il taglio.$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Mostriamo che Max Connected Cut si riduce al problema nel post. Quindi mostriamo che Max Cut non ponderato si riduce a Max Connected Cut.

Lemma 1. Max Connected Cut riduce in poli tempo il problema definito nel post.

Prova. Data un'istanza Max-Connected-Cut , let k = | V | - 2 . Per dimostrare il lemma, dimostriamo quanto segue:$G=(V,E)$$k=|V|-2$

Rivendicazione 1: Per qualsiasi , esiste un taglio collegato ( C , V ∖ C ) in G di capacità almeno s , IFF è possibile aumentare le capacità del bordo k in G all'infinito in modo che il grafico risultante abbia un taglio minimo capacità almeno s .$s>0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

SOLO SE: Supponiamo che ci sia un taglio collegato di capacità almeno s . Siano T 1 e T 2 sottostrutture che si estendono, rispettivamente, C e V ∖ C , quindi aumentano le capacità dei bordi in T 1 e T 2 . (Notare che | T 1 | + | T 2 | = | C | - 1 + | V ∖ $(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$ .) L'unico taglio di capacità finita rimanente nel grafico è quindi ( C , V ∖ C ) , di capacità almeno s , quindi il grafico risultante ha una capacità di taglio minima almeno s .$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

$k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$$s$

Ciò dimostra l'affermazione (e il lemma). (QED)

Per completezza, mostriamo che Max Connected Cut è NP-completo, per riduzione da Max Cut non ponderato.

Lemma 2. Il taglio massimo non ponderato si riduce in termini di tempo poli al taglio massimo collegato .

$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

$s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

$(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

$G'$$s+N^2+n$$A$$B$$P(N)$$N^2-N/100$$P(N)$$N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$$C$$V$$A$$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$$s$$C$$V\setminus C$

Ciò dimostra l'affermazione e Lemma 2. (QED)

Con Lemmas 1 e 2, poiché Max Cut non ponderato è NP-difficile, anche il problema nel post è NP-difficile.