Rigidità della matrice e usi delle matrici a bassa rigidità

All'incirca una matrice di grado si dice rigida, se per ridurlo a , si deve cambiare almeno delle sue voci, per alcuni . $n$ $\frac{n}{2}$ $n^{1+\epsilon}$ $\epsilon > 0$

Se una matrice è rigida, allora il più piccolo programma di retta che calcola ( è un vettore di dimensione ) ha una dimensione super-lineare o ha una profondità super logaritmica. $n \times n$ $A$ $Ax$ $x$ $n$

C'è un contrario all'affermazione di cui sopra?

In altre parole, ci sono usi per matrici a bassa rigidità non banali e non ovvie di rango pieno in TCS?

Esiste una nozione di rigidità per le matrici con gradi inferiori (diciamo per qualche costante)? $\frac{n}{c}$ $c$

cc.complexity-theory

— T ....
fonte

+1, bello vedere qui la domanda sulla rigidità, argomento avanzato, ma non è così chiaro. il contrario dell'istruzione sarebbe qualcosa di simile se il più piccolo programma in linea retta che calcola

una dimensione superlineare o una profondità superlogaritmica, quindi la matrice

è rigida. destra? ma questo sembra essere diverso dall'ultima domanda sulle matrici non banali / non banali a bassa rigidità. sembrerebbe che la rigidità della maggior parte delle matrici sia bassa che alta non sia così banale o ovvia ... ci sono molte matrici utili che hanno una bassa rigidità ... non sono state costruite matrici non casuali di alta rigidità!

A x

$A x$

n \times n

$n \times n$

— vzn,

Se una matrice

non è rigida, è possibile scomporla come

dove

è una matrice di basso rango e

è una matrice sparsa. I programmi lineari definiti da

possono essere calcolati in modo efficiente (vale a dire, meglio che banale) facendo affidamento sul basso rango e sulle proprietà di scarsità. Ciò significa, ad esempio, che se

richiede un circuito di dimensioni quadratiche, deve essere rigido (con una scelta appropriata dei parametri).

A

$A$

A = B + C

$A=B+C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

— Mahdi Cheraghchi,

forse prima è bene chiedere esempi di matrici con una rigidità non ovviamente bassa

— Sasho Nikolov

@vzn Un altro modo per affermare il contrario è "le matrici a bassa rigidità hanno piccoli circuiti lineari". la tua risposta è esattamente nella direzione opposta (non una parola sulle applicazioni del tipo meno rigide -> più efficienti), quindi -1

— Sasho Nikolov

@MCH Un buon punto. Cosa potrebbe essere il migliore del banale? Stai facendo un punto interessante, cambierò un po 'la domanda.

— T ....

-3

in mancanza di ulteriori chiarimenti sulla domanda, ecco un tentativo / schizzo di una risposta. la rigidità della matrice ha profonde connessioni con le domande fondamentali nella teoria della TCS / complessità, compresi i limiti inferiori del circuito, [1] e quindi le separazioni delle classi di complessità, la teoria dei codici [2] e altre aree. [5] è un bel sondaggio con le diapositive.

i termini "basso" e "alto" in riferimento alla rigidità delle matrici sono usati in modo informale e non in un senso tecnico definito con precisione. [sebbene Friedman abbia definito la rigidità "forte". [6]] matrici casuali sono note per avere un'elevata rigidità ma fondamentalmente, è un problema aperto di 3,5 decenni in quest'area per costruire esplicitamente qualsiasi matrice con rigidità "significativamente elevata".

la domanda non definisce / chiarisce ulteriormente i termini soggettivi "non banale" o "non permeabile" e vi prenderà un po 'di libertà.

in quest'area esiste una linea di ricerca che esamina la rigidità delle matrici Hadamard che hanno usi / applicazioni varie nella teoria dei codici e altrove.

sembra corretto affermare che un risultato di rigidità considerevolmente elevata avrebbe superato la soglia di condurre almeno a "nuovi corollari non banali nella teoria della complessità", ma i limiti più noti sulle matrici di Hadamard non sono sufficienti. [3] ma neppure questo dimostra in modo conclusivo che hanno una rigidità "bassa" limitata. è fondamentalmente la stessa storia con le matrici Vandermonde [anche applicazioni nella teoria dei codici] considerate da Lokam. [4]

quindi per riassumere tutto ciò che si può dire è che "deboli limiti di rigidità inferiore" sono stati dimostrati su alcune matrici tra cui le matrici Hadamard / Vandermonde.

inoltre, non sembrano esserci esperimenti numerici pubblicati, stime o algoritmi nell'area.

[1] Complessità booleana delle funzioni di Stasys Jukna, 2011, sec 12.8 "Le matrici rigide richiedono circuiti di grandi dimensioni"

[2] Rigidità matrice e codici autocorrettivi locali Zeev Dvir

[3] Miglioramento dei limiti inferiori sulla ridigità delle matrici Hadamard Kashin / Razborov

[4] Sulla rigidità delle matrici Vandermonde Lokam

[5] Discorso sulla rigidità della matrice di Mahdi Cheraghchi

[6] J. Friedman. Una nota sulla rigidità della matrice. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

— VZN
fonte