Formula 3CNF monotona limitata: conteggio delle assegnazioni soddisfacenti (sia modulo che modulo )

Considera una formula Monotone 3CNF con entrambe le seguenti restrizioni aggiuntive:

• Ogni variabile appare esattamente in clausole.$2$
• Dato qualsiasi clausole, condividono al massimo variabile.$2$$1$

Vorrei sapere quanto è difficile contare i compiti soddisfacenti di tale formula.

Aggiornamento 06/04/2013 12:55

Vorrei anche sapere quanto è difficile determinare la parità del numero di incarichi soddisfacenti.

Aggiornamento 11/04/2013 alle 22:40

Che cosa succede se, oltre alle restrizioni sopra descritte, introduciamo anche entrambe le seguenti restrizioni:

• La formula è planare
• La formula è bipartita.

Aggiornamento 16/04/2013 alle 23:00

Ogni incarico soddisfacente corrisponde a una copertura del bordo di un grafico a regioni. Dopo approfondite ricerche, l'unico documento pertinente che sono riuscito a trovare sulle copertine dei contatori è il (terzo) già menzionato nella risposta di Yuval. All'inizio di tale documento, gli autori affermano "Noi iniziamo lo studio di campionamento (e la relativa domanda di conteggio) di tutte le coperture del bordo di un grafico" . Sono molto sorpreso che questo problema abbia ricevuto così poca attenzione (rispetto al conteggio delle copertine dei vertici, che è ampiamente studiato e molto meglio compreso, per diverse classi di grafici). Non sappiamo se il conteggio delle copertine dei bordi sia -hard. Non sappiamo se determinare la parità del numero di copertine sia# P ⊕ $3$$\#P$$\oplus P$-hard, neanche.

Aggiornamento 09/06/2013 alle 07:38

Determinare la parità del numero di coperture dei bordi è -hard, controllare la risposta di seguito.$\oplus P$

In qualsiasi grafico, la parità del numero di copertine dei vertici è uguale alla parità del numero di copertine dei bordi.

$|C|$$\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$$O_{|V|} + E_{|V|}$

$\oplus$$\oplus$

Almeno la seconda metà della domanda è stata risolta.

Il tuo problema è probabilmente # P-completo, anche se non sono stato in grado di trovarlo in letteratura.

Un altro modo per affermare il tuo problema è "# 3-regular-edge-cover". Data una formula, costruisci un grafico in cui ogni clausola corrisponde a un vertice e ogni variabile corrisponde a un bordo. Poiché la formula è un 3CNF, il grafico è 3-regolare (o ha il massimo grado 3, a seconda della definizione). Inoltre, il grafico è semplice. Un incarico soddisfacente è lo stesso di una copertina.

Ecco alcuni problemi correlati:

• # 1-Ex3MonoSat è # P-completo . Questo è lo stesso del tuo problema, solo una soluzione soddisfacente deve soddisfare esattamente una variabile in ciascuna clausola.
• Il conteggio del numero di copertine dei vertici nei grafici planari a 3 regolari è # P-completo .
• Esiste un FPRAS per la copertina n . 3 a bordo normale . Ciò suggerisce che gli autori ritengono che il problema sia difficile.