Colpire set con una sottofamiglia

Sia una famiglia di sottoinsiemi di elementi di un universo finito di oggetti. Una famiglia di sottoinsiemi di elementi di , con , è un - colpire-set di se per ogni esiste almeno un set tale che .d U H k U 1 ≤ k < d ( k , d ) F V ∈ F W ∈ H W ⊂ $F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Dato un insieme di cui sopra, la - che colpisce-set problema è quello di trovare un più piccolo -hitting-set per .( k , d $F$$(k,d)$H $(k,d)$$H$$F$

Quando abbiamo il problema standard di colpire-set, e ci sono molti risultati precedenti per questo. Conosco analisi parametriche per il caso con e (vedi Brankovic e Fernau , per esempio).k = 1 d ≤ $k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Qualcuno sa dei risultati riguardanti la complessità o la durezza di approssimazione del problema -hitting-set con:$(k,d)$

1. $k = 1$ e ?$d = 4$
2. $d = 4$ e ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ e arbitraria?$d$

Per una costante il problema del set di colpire ( k , d ) non è più difficile del set di colpire d originale (cioè k = 1 ) in considerazione sia dell'approssimazione che della complessità parametrizzata. C'è una semplice riduzione da k d -HS a d -HS. Per un'istanza ( U , F , d , k ) del primo problema otteniamo un'istanza di ( U ′ , F ′ , d ) del secondo in cui ogni elemento$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$ corrisponde a unsottoinsieme di elementi k di U , e ogni insieme in F ′ corrisponde a un insieme in F allo stesso modo (cioè mappando tutti isottoinsiemi di elementi k di U con elementi in U ′ ). Poiché k è una costante, la dimensione della nuova istanza è una funzione polinomiale della dimensione della prima istanza ( O ( n k ) ). Una serie di colpi per il primo problema corrisponde a una serie di colpi della stessa cardinalità per il secondo problema e viceversa, quindi la riduzione è preservare l'approssimazione.$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$$U$$U'$$k$$O(n^k)$