Complessità di calcolo della distanza media di un grafico

Sia $\rm{ad}(G)$ la distanza media di un grafico collegato $G.$

Un modo per calcolare è riassumere gli elementi di la matrice della distanza di e ridimensionare la somma in modo appropriato. $\rm{ad}(G)$ $D(G),$ $G$

Se il grafico di output è un albero, allora è noto che la distanza media può essere calcolata in tempo lineare (Vedi B.Mohar, T.Pisanski - Come calcolare l'indice di Wiener di un grafico). Sembra che ci siano algoritmi veloci anche per grafici con larghezza dell'albero limitata.

Una domanda interessante è quindi se aiuta a conoscereIn altre parole $D(G).$

È possibile calcolare in tempi sub-quadratici? $\rm{ad}(G)$

Quello che mi interessa sapere è se esiste un limite inferiore teorico al perché questo non sarebbe possibile.

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Jernej
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Insieme al risultato della larghezza degli alberi limitato che menzioni (Cabello e Knauer, "Algoritmi per grafici della larghezza degli alberi limitata tramite la ricerca della gamma ortogonale", Comp. Geom. 2009) è noto come calcolarlo rapidamente per i grafici incorporabili isometricamente nei prodotti cartesiani degli alberi ( che risulta essere rilevante per gli algoritmi dei grafici chimici) - vedi Yeh e Gutman, "Sulla somma di tutte le distanze nei grafici compositi", Discrete Math. 1994, e Chepoi e Klavžar, "L'indice di Wiener e l'indice di Seghedino dei sistemi benzenoidi in tempo lineare", JCICS 1997.

— David Eppstein,

Il calcolo dell'annuncio (G) nel tempo per la costante anche nei grafici con bordi e vertici implicherebbe che l'ipotesi del tempo esponenziale forte (SETH) è falsa. (SETH è stato definito da Impagliazzo, Paturi e Zane'01 e implica che CNF-SAT su variabili non ha algoritmi temporali .) $O(n^{2-\delta})$ $\delta>0$ $\tilde{O}(n)$ $n$ $n$ $O(2^{(1-\varepsilon)n})$

Per dimostrarlo, notiamo che recentemente (Algoritmi di approssimazione veloce per il diametro e il raggio dei grafici sparsi, Liam Roditty, V. Vassilevska Williams. STOC'13.) Che se si può distinguere tra grafici di diametro 2 e 3 in subquadratico ora, quindi SETH è falso. La prova passa attraverso una riduzione da CNF-SAT. La stessa riduzione può essere utilizzata per mostrare che l'annuncio di calcolo (G) nel tempo subquadratico mostra che SETH è falso, poiché la distanza media nei grafici nella riduzione sarebbe (dove e è il numero di nodi e spigoli nell'istanza di riduzione) se l'istanza CNF-SAT non è soddisfacente, e più di questo se esiste un compito soddisfacente. $2-M/{N\choose 2}$ $N$ $M$

— virgi
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