La complessità del campionamento (approssimativo) della trasformata di Fourier di una funzione booleana

Una cosa che i computer quantistici possono fare (possibilmente anche con solo circuiti quantistici BPP + con profondità di log) è di campionare approssimativamente la trasformata di Fourier di una funzione booleana valutata in in P. $\pm 1$

Qui e sotto quando parlo di campionamento della trasformata di Fourier intendo scegliere x in base a . (Normalizzato se necessario e circa). $|\hat f(x)|^2$

Possiamo descrivere la classe di complessità, che possiamo chiamare P-FOURIER SAMPLING, delle funzioni booleane approssimative di campionamento di P? Ci sono problemi che sono completi per questa classe?

Data una classe X di funzioni booleane che cosa si può dire della complessità computazionale, che possiamo fare riferimento a CAMPIONAMENTO-X del campionamento approssimativo della trasformata di funzioni di Fourier in X. (Suppongo che se X è BQP, allora X-SAMPLING è ancora sotto il potere dei computer quantistici.)

Quali sono gli esempi di X in cui SAMPLING-X è in P? Ci sono esempi interessanti in cui SAMPLING-X è NP-difficile?

Esistono diverse varianti di questo problema che possono anche essere interessanti. Sul lato di Fourier, piuttosto che sul campione approssimativo, possiamo parlare di un problema decisionale abilitato (probabilisticamente) dal campionamento approssimativo. Sul lato primario, possiamo iniziare con una classe X di distribuzioni di probabilità e chiedere qual è la relazione tra la capacità di campionare approssimativamente una distribuzione D in X e di campionare approssimativamente la trasformata (normalizzata) di Fourier.

In breve, cosa si sa di questa domanda.

Aggiornamento: Martin Schwarz ha sottolineato che se tutti i coefficienti di Fourier stessi sono concentrati solo su un numero polinomiale di voci, è possibile in BPP approssimare questi grandi coefficienti (e quindi anche approssimativamente campionare). Ciò risale a Goldreich-Levin, e Kushilevitz-Mansour. Esistono interessanti classi di funzioni in cui esiste un algoritmo polinomiale probabilistico per campionare approssimativamente il lato di Fourier, in cui i coefficienti di Fourier sono distribuiti su più di un numero polinomiale di coefficienti?

Aggiunto più tardi: vorrei menzionare alcuni problemi concreti.

1) Quanto è difficile campionare approssimativamente la trasformata di Fourier delle funzioni booleane in P.

a) Una domanda che Scott Aaronson ha menzionato in un commento qui sotto è quella di dimostrare che questo non è nel BPP. O qualcosa di più debole sulla falsariga che se questo compito è in BPP sta accadendo un crollo. (Scot ipotizza che sia così.)

b) Un'altra domanda è quella di dimostrare che questo compito è difficile rispetto ad alcune classi di complessità quantistica. Ad esempio, per dimostrare che se è possibile eseguire questa attività, è possibile risolvere problemi di decisione in BPP assistiti con computer quantistici con profondità di registro o qualcosa del genere.

2) Quali sono le classi di funzioni booleane tali che il campionamento approssimativo della loro trasformata di Fourler è in P. Ciò che sappiamo è che questo è il caso in cui i coefficienti di Fourier sono concentrati su molti coefficienti polinomiali, ma questo sembra molto limitato.

3) C'è qualche classe di complessità X in alto nel PH che una macchina X può campionare approssimativamente la trasformata di Fourier di ogni funzione che una macchina X può calcolare.

4) Ero particolarmente interessato al problema del campionamento della trasformata di Fourier dell'evento di incrocio per percolazione su una griglia esagonale n per n.

— Gil Kalai
fonte

Gil, nel caso in cui questo ti interessi: prima che io e Alex Arkhipov iniziassimo a lavorare su BosonSampling, la cosa "originale" che volevo dimostrare era che il problema approssimativo del campionamento di Fourier - cioè esattamente il problema che descrivi - non è nel BPP a meno che la gerarchia polinomiale non collassi. Sfortunatamente, non sono stato in grado di dimostrarlo o persino di ottenere buone prove per questo, che ci ha motivato a spostare l'attenzione sui bosoni e sul permanente "decisamente # P-completo". Tuttavia, ora vorrei ribadire la mia congettura secondo cui il campionamento approssimativo di Fourier è difficile, supponendo solo che il PH sia infinito. :-)

— Scott Aaronson,

Grazie, Scott, questo è molto interessante. Citerò la tua congettura insieme ad alcune altre nella prossima modifica della domanda.

— Gil Kalai,

A proposito, Scott, non è l'argomento tramite i permanenti che mostra che BOSONSAMPLING in BPP implica il collasso del PH funziona anche per il campionamento di Fourier?

— Gil Kalai,

Gil: Sì, per gli algoritmi di campionamento esatti , passa esattamente lo stesso argomento. Ma per gli algoritmi di campionamento approssimativi, non sono sicuro: si dovrebbe credere che il calcolo approssimativo dei coefficienti di Fourier dovrebbe essere in media # P-completo, proprio come Arkhipov e io abbiamo ipotizzato che l'approssimazione del permanente di una matrice gaussiana iid dovrebbe essere # P-complete in media.

— Scott Aaronson,

$\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— Martin Schwarz
fonte

Grazie Martin! Suppongo che non sia noto quanto sia difficile campionare dalla trasformata di Fouriet anche delle funzioni AC ^ 0, giusto? (Nel caso della profondità 2 una congettura di Mansour afferma che è polinomiale (con randomizzazione).

— Gil Kalai,