Implicazioni dell'approssimazione del determinante

$n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

A questo proposito, quale sarebbe l'approssimazione "corretta" da chiedere - moltiplicativa o additiva? (vedi una delle risposte di seguito).

determinant cc.complexity-theory

— Lior Eldar
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Questi dovrebbero essere su una RAM reale?

$\:$

Non sono sicuro di comprendere correttamente la domanda, ma se fai riferimento alla precisione dell'aritmetica, suppongo che ogni numero reale sia memorizzato in bit di log (n).

— Lior Eldar,

Con il rischio di non aver compreso correttamente i dettagli della domanda: essere in grado di approssimare il determinante all'interno di qualsiasi fattore richiede di essere in grado di decidere se una matrice quadrata è singolare o meno, il che dovrebbe avere alcune conseguenze.

Per prima cosa, fornisce un test randomizzato per stabilire se un grafico generale ha una corrispondenza perfetta (tramite la matrice Tutte e Schwarz-Zippel). Non penso che quest'ultimo sia noto nello spazio di log randomizzato (ad esempio, lo zoo di complessità elenca la corrispondenza perfetta bipartita come difficile per NL).

— Magnus Wahlström
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Grazie Magnus, anche se in realtà stavo pensando a un errore di approssimazione additivo, nel qual caso non ti verrà richiesto di distinguere se una matrice è singolare o meno. Anche l'approssimazione multilipativa può essere interessante, quindi in questo momento non sono sicuro di quale sia la migliore definizione.

— Lior Eldar,

@LiorEldar, sicuramente anche con errore di approssimazione additivo, se le voci nella matrice sono numeri interi e il limite di errore additivo è inferiore a 0,5 hai un test di singolarità a prova di errore?

— Peter Taylor,

Ciao Peter Taylor, penso che per parlare di, diciamo 0,5 precisione, prima devi in qualche modo specificare la norma di operatore più grande che supporti. Quindi, ad esempio, se l'ingresso

, l'errore additivo determinante può essere

. Quindi, anche se il tuo input ti viene dato come numeri interi troncati, ciascuno di

errore di approssimazione è molto più piccolo di

rispetto a

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

bit, la norma massima per la quale ti viene richiesto di approssimare il determinante sarebbe

in termini di numeri interi, il che significa che

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$ .

— Lior Eldar

Penso che il problema con l'errore additivo rispetto alla norma sia che non si adatta bene. Supponiamo di avere un algoritmo che ha dato un errore di approssimazione

rispetto a

. Ora lascia che

sia la matrice diagonale

blocchi formata usando

copie di

come blocchi. Quindi

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ , ma

, quindi a

errore additivo per

ridimensionato a un errore additivo

per

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Kevin Costello,