Complessità del problema di copertura dell'intervallo

Considera il seguente problema$Q$ n k [ l i , r i ] 1 ≤ l i ≤ R i ≤ 2 n 2 n d 1 , ... , d 2 n ≥ 0 [ l i , r i ] i = 1 , ... , 2 n d i i : Ci viene dato un numero intero e intervalli con . Ci vengono anche dati numeri interi . Il compito è selezionare un numero minimo di intervalli tale che per ogni , almeno intervalli contenenti l'intero siano selezionati.$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$$i=1,…,2n$$d_i$$i$

Non è difficile vedere che può essere risolto in tempo polinomiale (vedi sotto).$Q$

Consideriamo ora il seguente problema$Q’$ leggermente modificato : L'input del problema è lo stesso di prima. Tuttavia, il compito ora è selezionare un numero minimo di intervalli tale che per ogni , almeno intervalli contenenti l'intero numero o almeno intervalli contenenti il vengono selezionati i numeri interi (con “o” intendiamo il solito logico o).d 2 i - 1 2 i - 1 d 2 i 2 $i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

La mia domanda: può essere risolto in tempo polinomiale?$Q’$

Ecco due modi per risolvere efficiente:$Q$

Un semplice algoritmo avido: scorrere gli intervalli da sinistra a destra e selezionare solo gli intervalli necessari per "soddisfare" i numeri . Ogni volta che è possibile scegliere tra intervalli diversi, scegliere quello / i con endpoint destro massimo.$d_i$

Un programma intero: per ogni intervallo introdurre una variabile di decisione con se l'intervallo è selezionato. L'obiettivo è ridurre al minimo , soggetti ai vincoli . La matrice di vincoli di questo programma intero ha le proprietà consecutive e quindi il rilassamento di programmazione lineare di questo programma ha una soluzione intera ottimale.x i ∈ { 0 , 1 } x i = 1 x 1 + … + x k ∑ j : i ∈ [ l j , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$

Grazie per eventuali suggerimenti, e anche per i riferimenti!

Ogni istanza di Q può essere trasformata in un'istanza del Problema di copertura di multipli, in cui le posizioni sono gli intervalli , che coprono una sequenza consecutiva di punti di domanda (= numeri interid $[l_i,r_i]$$d_i$ ).