La complessità temporale deterministica più nota è più bassa per un problema naturale in NP

25

Questa risposta ai maggiori problemi irrisolti nell'informatica teorica? domanda afferma che è aperto se un particolare problema in NP richiede tempo . $\Omega(n^2)$

Guardando i commenti in risposta mi sono fatto meravigliare:

A parte il padding e trucchi simili, qual è la complessità temporale più nota inferiore legata a una macchina RAM deterministica (o macchina Turing deterministica a nastro multiplo) per un problema interessante in NP (che è dichiarato in modo naturale)?

C'è qualche problema naturale in NP che è noto per essere irrisolvibile nel tempo deterministico quadratico su un modello di macchina ragionevole?

In sostanza, quello che sto cercando è un esempio che esclude la seguente affermazione:

qualsiasi problema NP naturale può essere risolto in tempo . $O(n^2)$

Conosciamo problemi NP simili a quelli del documento di Karp del 1972 o di Garey e Johnson 1979 che richiedono tempo deterministico? O è possibile, per quanto ne sappiamo, che tutti i problemi NP naturali naturali possono essere risolti in tempo deterministico ? $\Omega(n^2)$ $O(n^2)$

modificare

Chiarimento per rimuovere qualsiasi confusione derivante dalla discrepanza tra limite inferiore e non limite superiore : sto cercando un problema che sappiamo di non poter risolvere in . Se un problema soddisfa il requisito più forte che è necessario il tempo o (per tutti gli ingressi abbastanza grandi), allora lo farà meglio, ma all'infinito. $o(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $\omega(n^2)$

cc.complexity-theory np p-vs-np

— Anonimo
fonte

5

gli unici limiti inferiori superlineari che conosco per problemi naturali in NP sono i compromessi nello spazio temporale per SAT ( dl.acm.org/citation.cfm?doid=1101821.1101822 , e c'è un lavoro di follow-up di @RyanWilliams, che ne saprà molto di più) . e non dicono nulla se lo spazio può essere lineare.

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov, i risultati spazio-tempo sono per SAT e non ci sono riduzioni da molti problemi NP naturali a SAT in cui la dimensione dell'output è delimitata linearmente dalla dimensione dell'input. Un limite inferiore di

per alcuni problemi NP naturali non implica necessariamente un risultato più forte per SAT di quanto attualmente noto.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Anonimo

1

sto dicendo che non conosco alcun limite inferiore super lineare per qualsiasi altro problema NP naturale

— Sasho Nikolov,

Come si usa il padding per ottenere un problema artificiale in NP con un limite inferiore di complessità temporale

?

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Robin Kothari,

@RobinKothari, prendi un problema in DTIME (

) e tamponalo. La dimostrazione si basa sul teorema della gerarchia temporale non deterministica e il riempimento non era il modo giusto di fare riferimento all'esempio. Possiamo prendere direttamente un problema NP in NTIME (

).

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Anonimo

16

Adachi, Iwata e Kasai in un articolo del JACM del 1984 mostrano per riduzione che il gioco Cat e Mouse ha un limite inferiore di . Il problema è in P per ogni . Il problema si gioca su un grafico diretto. Le mosse consistono nel gatto e poi in uno dei topi che si alternano a passi. I topi vincono se possono atterrare su un nodo di formaggio designato prima che il gatto atterri su di loro. La domanda è se il gatto ha una vittoria forzata. In realtà è un problema completo, quindi il limite inferiore si basa davvero sulla diagonalizzazione che dà la gerarchia temporale. $k$ $n^{\Omega(k)}$ $k$ $k$

Il Grandjean ha mostrato che il limite inferiore di Pippenger, Paul, Szemeredi e Trotter si applica a una codifica SAT, sebbene il risultato di Santhanam possa sostituirlo.

Oltre ai limiti inferiori di compromesso spazio-tempo per SAT menzionati in altri commenti, esiste un corpus di lavori sui limiti inferiori del programma di ramificazione che implicano compromessi spazio-temporale per le macchine di Turing. Per problemi come FFT, l'ordinamento o il calcolo di funzioni hash universali ci sono limiti inferiori di compromesso quadratico di Borodin-Cook, Abrahamson, Mansour-Nisan-Tiwari ma questi sono per funzioni con molte uscite. Per problemi di decisione in P, ci sono limiti inferiori di compromesso spazio-temporale che si applicano per limiti di tempo che sono ma questi sono più deboli di quelli noti per SAT. $O(n \log n)$

— Paul Beame
fonte

qualche idea sul rapporto tra il gioco del gatto col topo e NP?

— vzn

12

Il classico risultato che conosco è dovuto a Paul, Pippenger, Szemeredi e Trotter (1983) e separa il tempo lineare deterministico dal tempo non deterministico.

Poi, c'è il risultato più recente di Fortnow, Lipton, van Melkebeek e Viglas (2004) che è già stato menzionato. L'unicità di questo risultato è che si tratta di un risultato di compromesso spazio-tempo, che delimita lo spazio e il tempo.

$\omega (n \sqrt{ \log ^{*} n} )$

$\mathbb{NP}$ $O(n^{2})$

$\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$ $O(n^{2})$

$\mathbb{NP}$

$DTIME ( f(n) )$ $f(n) = \Omega ( n^{2} \log n)$ $\omega( n^{2} )$
$NTIME ( f(n) )$ $f(n) = \omega ( n^{2} )$
$SPACE ( f(n) )$ $f(n) = \omega ( n^{2} / \log n)$

I limiti inferiori sopra dovrebbero essere validi per la complessità dei bit del problema.

$\mathbb{NP}$

— chazisop
fonte

3

la domanda pone un problema naturale

— Sasho Nikolov

n^{k}

$n^k$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

@Anonimo stai dicendo che SAT non è un problema naturale?

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov, SAT è un problema naturale. Tuttavia, il risultato non risponde positivamente alla mia domanda. Pertanto l'ho interpretato nel senso che non si conosce una risposta migliore alla domanda. Non è necessario che sia così. In questo senso non risponde alla mia domanda.

— Anonimo

2

Ci proverò un'ultima volta: mentre hai ragione sul fatto che non ci sono tali implicazioni, sono abbastanza certo che non ci sia un limite inferiore quadratico incondizionato noto rispetto al tempo deterministico per qualsiasi problema NP naturale. Non segue i risultati SAT; è solo lo stato delle cose

— Sasho Nikolov,

2

Forse un esempio abbastanza naturale viene dalla complessità di Kolmogorov limitata nel tempo :

$k$ $f(n) \leq n$ $x$ $M$ $|M| < f(|x|)$ $M$ $x$ $|x|^k$

— Marzio De Biasi
fonte

Grazie, non è completamente artificiale ma non lo trovo un esempio naturale soddisfacente.

— Anonimo

2

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

@SashoNikolov: ho cancellato la parte di Ramsey ... ha bisogno di una prova formale :-(

— Marzio De Biasi

-7

Questo sta solo sollevando la stessa domanda di P = NP in un modo diverso, se puoi provare che è irrisolvibile in un tempo quadratico o trovare un limite inferiore assoluto, dimostreresti P! = NP

— Alex Gonopolskiy
fonte

11

Perché un limite inferiore quadratico per un problema naturale in NP mostra P! = NP?

— Robin Kothari,