Non sono esattamente sicuro di quale livello sia adatto per l'articolo di Wikipedia (diversi articoli sembrano mirati a diversi livelli di competenza) o esattamente quello che stai cercando. Quindi, ecco una prova, ma sono aperto al feedback.
La teoria della complessità geometrica propone di studiare la complessità computazionale delle funzioni di calcolo (diciamo, polinomi) sfruttando le simmetrie intrinseche nella complessità e eventuali simmetrie aggiuntive delle funzioni studiate.
Come con molti approcci precedenti, l'obiettivo finale è quello di separare due classi di complessità dimostrando che esiste un polinomio p che assume funzioni f come ingressi (ad esempio, dai loro vettori di coefficienti) tali che p scompare su ogni funzione f ∈ C e a s y ma non svanisce su alcune funzioni g h a r d ∈ C h a r d .Ceasy,Chardpfpf∈Ceasyghard∈Chard
La prima idea chiave (cfr. [GCT1, GCT2]) è quella di utilizzare le simmetrie per organizzare non le funzioni stesse, ma per organizzare le proprietà ( algebro-geometriche ) di queste funzioni, come catturate da polinomi come sopra. Ciò consente l'uso della teoria della rappresentazione nel tentativo di trovare tale p . Idee simili relative alla teoria della rappresentazione e alla geometria algebrica erano state usate in precedenza nella geometria algebrica, ma per quanto ne so, non sono mai state così.pp
La seconda idea chiave (cfr. [GCT6]) è quella di trovare algoritmi combinatori (e di tempo polinomiale) per i problemi teorici di rappresentazione risultanti, e quindi decodificare questi algoritmi per mostrare che esiste una tale . Questo può essere preso nello spirito dell'uso della Programmazione lineare (un algoritmo) per dimostrare certe affermazioni puramente combinatorie.p
In effetti, [GCT6] suggerisce di ridurre i problemi teorici di rappresentazione sopra ai problemi di Programmazione Integer , mostrando quindi che gli IP risultanti sono risolti dai loro rilasci LP e infine dando algoritmi combinatori per gli LP risultanti. Le congetture in [GCT6] sono a loro volta motivate dall'ingegnerizzazione di risultati noti per i coefficienti di Littlewood-Richardson, un problema analogo ma più semplice nella teoria della rappresentazione. Nel caso dei coefficienti LR, la regola combinatoria di Littlewood-Richardson venne prima. Successivamente Berenstein e Zelevinsky [BZ] e Knutson e Tao [KT] (vedere [KT2] per una panoramica amichevole) hanno fornito un IP per i coefficienti LR. Knutson e Tao hanno anche dimostrato la congettura di saturazione, il che implica che l'IP è risolto dal suo rilassamento LP (cfr. [GCT3, BI]).
I risultati di [GCT5] mostrano che il Lemma di normalizzazione di Noether in modo esplicito equivale essenzialmente al famigerato problema aperto nella teoria della complessità della derandomizzazione black-box del test di identità polinomiale . Praticamente come questo si inserisce nel programma più ampio è che trovare una base esplicita per le funzioni che (non) svaniscono su C e a s y (in questo caso, la classe per cui il determinante è completo) potrebbe essere usato per derivare un regola combinatoria per il problema desiderato nella teoria della rappresentazione, come è accaduto in altri contesti della geometria algebrica. Un passaggio intermedio qui sarebbe quello di trovare una base per quelli ppCeasypche (non) svaniscono sulla normalizzazione di , che è per costruzione una varietà algebrica più bella - in altre parole, per derandomizzare il Lemma di normalizzazione di Noether per DET.Ceasy
Esempi di simmetrie di complessità e funzioni
Ad esempio, la complessità di una funzione - per la maggior parte delle nozioni naturali di complessità - rimane invariata se permutiamo le variabili f ( x π ( 1 ) , … , x π ( n ) ) di qualche permutazione π . Quindi le permutazioni sono simmetrie della complessità stessa. Per alcune nozioni di complessità (come nella complessità del circuito algebrico) tutti i cambiamenti lineari invertibili delle variabili sono simmetrie.f(x1,…,xn)f(xπ(1),…,xπ(n))π
det(X)det(AXB)=det(XT)=det(X)A,Bdet(AB)=1
Alcuni progressi recenti [questa sezione è decisamente incompleta e più tecnica, ma un account completo richiederebbe decine di pagine .... Volevo solo evidenziare alcuni progressi recenti]
Burgisser e Ikenmeyer [BI2] hanno mostrato un limite inferiore sulla moltiplicazione di matrici dopo il programma GCT per quanto riguarda l'utilizzo di rappresentazioni con zero contro zero diverse. Landsberg e Ottaviani [LO] hanno dato il limite inferiore più noto essenzialmente di sul rango di confine della moltiplicazione di matrici usando la teoria della rappresentazione per organizzare le proprietà algebriche, ma non usando le moltiplicazioni di rappresentazione né le regole combinatorie.32n22n2
Il prossimo problema dopo i coefficienti di Littlewood-Richardson sono i coefficienti di Kronecker . Questi si presentano sia in una serie di problemi che si sospetta che alla fine raggiungano i problemi teorico-rappresentativi che sorgono in GCT, sia più direttamente come limiti sulle molteplicità nell'approccio GCT alla moltiplicazione di matrice e permanente rispetto a determinante. Trovare una regola combinatoria per i coefficienti di Kronecker è un problema aperto di vecchia data nella teoria della rappresentazione; Blasiak [B] ha recentemente dato una simile regola combinatoria per i coefficienti di Kronecker con una forma ad uncino.
Kumar [K] ha mostrato che certe rappresentazioni compaiono nell'anello di coordinate del determinante con molteplicità diversa da zero, assumendo la congettura quadrata latina della colonna (cfr. Huang-Rota e Alon-Tarsi; anche questa congettura, forse non a caso, si presenta in [BI2 ]). Quindi queste rappresentazioni non possono essere usate per separare il permanente dal determinante sulla base delle molteplicità zero rispetto a zero, anche se potrebbe essere ancora possibile usarli per separare il permanente dal determinante da una disuguaglianza più generale tra le molteplicità.
Riferimenti
[B] J. Blasiak. Coefficienti di Kronecker per una forma ad uncino. arXiv: 1209.2018, 2012.
[BI] P. Burgisser e C. Ikenmeyer. Un algoritmo a flusso massimo per positività dei coefficienti di Littlewood-Richardson. FPSAC 2009.
[BI2] P. Burgisser e C. Ikenmeyer. Limiti espliciti inferiori tramite la teoria della complessità geometrica. arXiv: 1210.8368, 2012.
[BZ] AD Berenstein e AV Zelevinsky. Triplicità per e lo spettro dell'algebra esterna della rappresentazione aggiunta. sl(r+1)J. Algebraic Combin. 1 (1992), n. 1, 7–22.
[GCT1] KD Mulmuley e M. Sohoni. Teoria della complessità geometrica I: un approccio alla P vs. NP e problemi correlati. SIAM J. Comput. 31 (2), 496-526, 2001.
[GCT2] KD Mulmuley e M. Sohoni. Teoria della complessità geometrica II: verso ostacoli espliciti per matrimoni tra varietà di classe. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175–1206, 2008.
[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan e M. Sohoni. Teoria della complessità geometrica III: sulla decisione di non levigare un coefficiente di Littlewood-Richardson. J. Algebraic Combin. 36 (2012), n. 1, 103–110.
[GCT5] KD Mulmuley. Teoria della complessità geometrica V: Equivalenza tra derandomizzazione blackbox del test di identità polinomiale e derandomizzazione del Lemma di normalizzazione di Noether. FOCS 2012, anche arXiv: 1209.5993.
[GCT6] KD Mulmuley. Teoria della complessità geometrica VI: il capovolgimento tramite positività. , Rapporto tecnico, dipartimento di informatica, Università di Chicago, gennaio 2011.
[K] S. Kumar. Uno studio delle rappresentazioni supportate dalla chiusura dell'orbita del determinante. arXiv: 1109.5996, 2011.
[LO] JM Landsberg e G. Ottaviani. Nuovi limiti inferiori per il grado di confine della moltiplicazione di matrici. arXiv: 1112.6007, 2011.
[KT] A. Knutson e T. Tao. Il modello a nido d'ape dei prodotti tensoriali . I. Prova della congettura di saturazione. GLn(C)J. Amer. Matematica. Soc. 12 (1999), n. 4, 1055-1090.
[KT2] A. Knutson e T. Tao. Favi e somme di matrici eremitiche. Avvisi Amer. Matematica. Soc. 48 (2001), n. 2, 175–186.