Potrebbe esserci un sottogruppo nascosto estremamente ampio di problemi polinomialmente risolvibili all'interno di problemi NP-Complete?

Supponiamo che P! = NP.

Sappiamo che possiamo creare semplici istanze di 3-SAT in qualsiasi momento. Possiamo anche generare quelli che crediamo siano casi difficili (perché i nostri algoritmi non possono risolverli rapidamente). C'è qualcosa che impedisce all'insieme di istanze difficili di essere arbitrariamente piccole, purché per una data dimensione di istanza (n) ci siano solo istanze Poly (n) (o anche costanti) di dimensioni Poly (n) o più piccole?

Per qualsiasi istanza 3-SAT difficile, dovremmo aggiungere l'insieme di tutte le istanze 3-SAT che riduce a tramite il looping attraverso il ciclo di riduzione della completezza NP, ma non prevedo che ciò aumenti molto il numero di istanze difficili .

In questo mondo, potremmo costruire un algoritmo che risolve polinomialmente tutti i problemi NP completi, tranne alcuni eccezionali.

Modifica: una variante più morbida della domanda: anche se mostrassimo P! = NP, come potremmo sapere se un determinato metodo per generare problemi di dimensione n 3-SAT ha effettivamente generato uno difficile con qualche probabilità richiesta? Se non c'è modo di saperlo solo da P! = NP, cosa è necessario per dimostrare che possiamo generare un problema NP-completo?

np-hardness p-vs-np

— Elliot JJ
fonte

Sì. I problemi NP-completi sono difficili nel caso peggiore. È possibile che la maggior parte dei casi di un problema NP completo sia risolvibile in modo efficiente. Tuttavia, Russell Impagliazzo ha proposto un mondo (Pessiland) in cui esistono problemi di NP completi nel caso medio ma non esistono funzioni a senso unico. In questo mondo, non possiamo generare casi difficili di problemi NP-completi con una soluzione nota.

— Mohammad Al-Turkistany,

Se l'insieme di istanze rigide di ogni lunghezza è polinomialmente piccolo, NP è contenuto in P / poli. Ci sono anche altri modi di vedere questo, cercare HeurP.

— Kaveh,

Questa domanda sembra indirizzare la tua modifica - siamo in grado di (determinstically) generano casi duri della SAT se e solo se unario

unario

N P \neq

$\mathsf{NP} \neq$

P

$\mathsf{P}$

— usul

@ SarielHar-Peled In particolare, NP

P / poly fa crollare PH al secondo livello, che è coerente con P! = NP.

\subseteq

$\subseteq$

— Suresh Venkat,

Non esiste un modo noto per collegare la durezza nel caso peggiore e nel caso medio di NP. Tuttavia ci sono modi per collegare la durezza "lieve" nel caso medio alla durezza "forte" nel caso medio. La mia tesi è un punto di partenza per entrambi. ccs.neu.edu/home/viola/papers/thesis.pdf

— Manu

Risposte:

1) A seconda di cosa si intendesse esattamente, la conclusione nell'osservazione di Kaveh può essere rafforzata da a , essenzialmente usando il Teorema di Mahaney. Cioè, se esiste un algoritmo che risolve SAT e viene eseguito nel tempo su tutte le istanze di lunghezza eccetto eventualmente tali casi, dove e sono entrambi polinomi, quindi in realtà $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\leq p(n)$ $n$ $q(n)$ $p$ $q$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ . Vedi, ad esempio Meyer e Paterson e riferimenti in essi, o la monografia di Schoning "Complessità e struttura" . Quindi, se questo cattura la vostra nozione di "istanze duri", allora ci deve essere più di molti casi duri per ogni , assumendo . $poly(n)$ $n$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Cordiali saluti, tali algoritmi vengono talvolta definiti algoritmi "apt" o "APT", per "tempo quasi polinomiale" (da non confondere con la più moderna classe di complessità , che risulta uguale a ). $\mathsf{almostP}$ $\mathsf{BPP}$

2) Quanto sopra può essere ulteriormente rafforzato, come segue. Assumere . Quindi quanto sopra afferma che per qualsiasi algoritmo che risolve SAT e qualsiasi polinomio , esiste una serie di istanze di dimensione super-polinomiale in cui l'algoritmo impiega più di tempo. Ma il set può dipendere dall'algoritmo. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $p$ $p(n)$

Il risultato più forte cambia i quantificatori e conclude: esiste una dimensione super polinomiale impostata H (per "difficile") tale che per qualsiasi algoritmo A che risolve SAT e qualsiasi polinomio p, A impiega più di tempo su tutti ma in fin dei conti molti elementi di H. Tale H è chiamato nucleo di complessità (l'assunto dimensionale non fa parte della definizione di nucleo di complessità). La definizione e l'esistenza di nuclei di complessità è stata data da Lynch . Il risultato che ho appena citato è dimostrato da Orponen e Schoning . $p(n)$

— Joshua Grochow
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Nessuno ha menzionato la famosa carta dei "Cinque mondi" di Impagliazzo.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

— nessuna
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Questo è stato referenziato dal primo commento?

— András Salamon,

-3

$\stackrel{?}{=}$

C'è qualcosa che impedisce all'insieme di istanze difficili di essere arbitrariamente piccole, purché per una data dimensione di istanza (n) ci siano solo istanze Poly (n) (o anche costanti) di dimensioni Poly (n) o più piccole?

di nuovo il teorema di Mahaney (espresso in modo leggermente diverso) risponde direttamente a questo. un altro modo di vedere questo è che i tentativi di restringere la distribuzione delle istanze in qualche modo chiave / caratteristica portano a funzioni NP-complete. un esempio di ciò dalla complessità del circuito monotono sono le "funzioni di divisione". [2]

[1] Previsione della soddisfazione nella transizione di fase Lin Xu, Holger H. Hoos, Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne: la complessità delle funzioni della sezione centrale. Theor. Comput. Sci. 44: 247-257 (1986)

[3] Soluzione analitica e algoritmica di problemi casuali di soddisfazione M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] Transizioni di fase in problemi NP-completi: una sfida per probabilità, combinatoria e informatica di Moore

— VZN
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