Cronologia e stato del problema di corrispondenza del grafico

Parte della difficoltà di scoprire di più su questo problema è che il problema della corrispondenza dei grafici è diverso dal suo cugino molto più famoso, il problema della corrispondenza, ma difficile da distinguere da esso quando si usano i motori di ricerca.

Dati due grafici $G=(V,E)$ e $G'=(V',E')$ tali che $|V| = |V'|$, il compito è di trovare una biiezione $\pi : V \rightarrow V'$ tale che questa biiezione stabilisca quante più corrispondenze possibili tra i bordi di $G$ e $G'$ .

In altre parole, se $M$ e $M'$ sono le matrici di adiacenza, allora vogliamo massimizzare

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

Questo problema contiene chiaramente l'isomorfismo grafico come caso speciale e può essere ridotto alla corrispondenza bipartita con una riduzione (non polinomiale!).

Che tipo di algoritmi esistono e cosa si sa della sua complessità?

Dal documento approssimativo Grafico Isomorfismo :

Studiamo le versioni di ottimizzazione dell'isomorfismo grafico. Dati due grafici , siamo interessati a trovare una biiezione da a che massimizzi il numero di corrispondenze (spigoli mappati a spigoli o non spigoli mappati a non spigoli). Diamo uno schema di approssimazione temporale che per ogni fattore costante , calcola un'approssimazione . Lo dimostriamo combinando$G_1,G_2$ V ( G 1 ) V ( G 2 ) n O ( log n$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$α n O ( log n ) α $α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$algoritmo di approssimazione errore additivo temporale di Arora et al. [Matematica. Program., 92, 2002] con un semplice algoritmo di calcolo della media. Consideriamo anche il corrispondente problema di minimizzazione (dei disallineamenti) e dimostriamo che NP è difficile da approssimare per qualsiasi fattore costante . Inoltre, mostriamo che è anche NP-difficile approssimare il numero massimo di spigoli mappati ai bordi oltre un fattore di 0,94.$α$$α$

Non ho idea del tuo problema. Ma mi capita di conoscere una grande (est) raccolta di articoli relativi agli algoritmi di Graph Matching WITH PDFS . Applausi per Seth Pettie!

L'articolo che @Austin Buchanan ha indicato sopra sull'isomorfismo grafico approssimativo non sembra corrispondere alla versione richiesta. Suppongo che la matrice di adiacenza abbia voci, nel qual caso l'obiettivo sta misurando solo i bordi abbinati. Il modello approssimativo di isomorfismo del grafico misura sia i bordi abbinati che i bordi non corrispondenti, il che lo rende un po 'più facile dal punto di vista dell'approssimazione.$0,1$

Sembra che il problema richiesto sia almeno altrettanto grave del problema -dense-subgraph che attualmente ammette solo un'approssimazione polinomiale. Vedi http://arxiv.org/abs/1001.2891 e http://arxiv.org/abs/1110.1360 per maggiori dettagli e lo stato attuale in termini di algoritmi e durezza.$k$

Ora per la riduzione. Supponiamo di voler risolvere il problema -dense-subgraph in un grafico ; cioè vogliamo trovare un sottoinsieme di nodi che massimizzi il numero di spigoli nel grafico indotto . È possibile ridurre questo al vostro problema impostando ad un grafo costituito da una cricca sui -vertices e vertici isolati, e è impostato per essere .H k S G [ S ] G k n - k G ′$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$